流水线作业调度问题-动态规划(运用Johnson算法)

问题描述

• n个作业{1，2，…，n},要在由机器M1和M2组成的流水线上完成加工。
• 每个作业加工的顺序都是先在M1上加工，然后在M2上加工。
• M1和M2加工作业i所需的时间分别为ai和bi。

  要求确定这n个作业的最优加工顺序，使得从第一个作业在机器M1上开始加工，到最后一个作业在机器M2上加工完成所需的时间最少。

问题分析

• 直观上，一个最优调度应使机器M1没有空闲时间，且机器M2的空闲时间最少。

• 在一般情况下，机器M2上会有机器空闲和作业积压两种情况
  

• 设全部作业的集合为N={1，2，…，n}。S $\subseteq$ N是N的作业子集。

• 通常，机器M1开始加工S中作业时，机器M2还在加工其它作业，要等时间t后才可利用。

• 将这种情况下完成S中作业所需的最短时间记为T(S, t)。

• 流水作业调度问题的最优值为T(N, 0)。

最优子结构性质

 最优子结构性质：问题最优解，是否包含了子问题的最优解。

 调度问题最优子结构性质：设π是所给n个流水作业（N={1，2，…，n}）的一个最优调度，最优调度序列是π(1) ，π(2)， π(3)，…，π(n) ，π是否是调度π(2)， π(3)，…， π(n)的一个最优调度？若是，最优子结构性质成立。证明如下：

1. 把π调度n个作业所需的加工时间分成两部分： $a_{\pi (1)}$(1) 和T’。 其中，T’是机器M1和M2加工作业{π(2)，…，π(n)}所需的时间。因此，π调度n个流水作业需要的总时间为$a_{\pi (1)}$(1) 和T’
2. 令作业子集S=N - {π(1)} ，即：S={π(2)， π(3)，…，π(n)}。
3. 假设π不是实现加工作业子集S所需时间最短（最优）的调度，设π’是M1和M2加工作业子集S所需时间最短的一个最优调度, 则按π’加工作业子集S的最短时间为 T(S,$b_{\pi (1)}$ )

4. 因此π(1)， π’(2)，…， π’(n)是完成N ={1，2，…，n}作业 的一个调度，且该调度完成n个作业所需的时间 a_π(1)+T(S,b_π(1))
5. 由于 π’是加工π(2)，…，π(n)的最优调度，则T(S,bπ(1))是最短 时间，则T(S,$b_{\pi (1)}$)≤ T’，因此， $a_{\pi (1)}$+T(S,$b_{\pi (1)}$) ≤ $a_{\pi (1)}$+T’.
6. 由此，按照π(1)， π’(2)，…， π’(n)调度顺序完成n个作业所需的时间，小于按照π(1)， π(2) ，…， π(n) 调度完成n个作业所需时间aπ(1)+T’，这与π是N的最优调度矛盾，
7. 因此，π’是完成π(2)，…，π(n)的最优调度假设不成立，因此，π是完成π(2)，…，π(n)作业的最优调度。即：作业调度问题最优子结构性质成立。

递归计算最优值

 由流水作业调度问题的最优子结构性质可知:

 一般情况下：

流水作业调度的Johnson法则

 对于流水作业调度问题，必存在最优调度π ，使得作业π(i)和π(i+1)满足Johnson不等式, 此时称π为满足Johnson法则的调度。
    min{$b_{\pi (i)}$,$a_{\pi (i+1)}$}≥min{$b_{\pi (i+1)}$,$a_{\pi (i)}$} , 1≤i ≤n-1

• 所有满足Johnson法则的调度均为最优调度,且具有相同的加工时间。
• 从而，将流水作业调度问题转化为求满足Johnson法则的调度问题。

分析问题

• 当min{ $a_1$, $a_2$,┅, $a_n$ , $b_1$, $b_2$,┅, $b_n$ }=$a_k$时，则对任何i≠k，都有min{$b_k$, $a_i$} ≥ min{$b_i$,$a_k$}成立，故此时应将作业k安排在最前面，作为最优调度的第一个执行的作业；
• 当min{ $a_1$, $a_2$,┅, $a_n$ , $b_1$, $b_2$,┅, $b_n$ }=$b_k$时，则对任何i≠k，也都有min{$b_i$, $a_k$} ≥ min{$b_k$,$a_i$}成立，故此时应将作业k安排在最后面，作为最优调度的最后一个执行的作业。
• n个作业中首先开工（或最后开工）的作业确定之后，对剩下的n-1个作业采用相同方法可再确定其中的一个作业,应作为n-1个作业中最先或最后执行的作业；反复使用这个方法直到最后只剩一个作业为止，最优调度就确定了 。
  
  

计算作业加工顺序的步骤

1. 将{ $a_1$, $a_2$,┅, $a_n$ , $b_1$, $b_2$,┅, $b_n$ }排成非递减序列；
2. 依次从序列中抽出最小元素m，如果m ＝ $a_j$且作业j还没有排入调度表，则把作业 j 安排在调度表可达的最左边一项空位上（设n个作业的调度表有n项，开始全部为空）。
3. 如果m = bj且作业j还没有排入调度表，则把作业j安排在调度表可达的最右边一项空位上。
4. 如果作业j已排在调度表中，则取序列的下一个最小元素m，继续按上述方法调度，直到元素取完为止。
5. 最后得到的调度表中的作业的顺序就是各作业的加工顺序。

例子

  设 n ＝ 4，
   （$a_1$, $a_2$，$a_3$, $a_4$）＝（3，4，8，10）
   （$b_1$, $b_2$，$b_3$, $b_4$）＝（6，2，9，15）

 解:
  经排序后为
    （$b_2$，$a_1$，$a_2$，$b_1$，$a_3$，$b_3$，$a_4$，$b_4$）＝（2，3，4，6，8，9，10，15）

  设σ1，σ2，σ3，σ4是最优调度。
   因为最小数是b2，故置σ4= 2。下一个次小的数是a1，置σ1= 1。接下去是a2，作业2已经被调度。再其次是b1作业1也已经被调度。下一个是a3，置σ2= 3，依次置σ3= 4。

流水作业调度问题的Johnson算法

1. 令 $N_1$ = { i | $a_i$ < $b_i$}，$N_2$ = { i | $a_i$ ＞ $b_i$}
2. 将$N_1$中作业依ai的非减序排序；将$N_2$中作业依$b_i$的非增序排序；
3. $N_1$中作业接$N_2$中作业构成满足Johnson法则的最优调度π。
   

• 红线左侧满足 $a_{\pi (i)}$ ≤ $b_{\pi (i)}$ 和 $a_{\pi (i)}$ ≤ $a_{\pi (i+1)}$ ，符合johnson不等式: min{$b_{\pi (i)}$,$a_{\pi (i+1)}$}≥min{$b_{\pi (i+1)}$,$a_{\pi (i)}$} ，N1中作业调度顺序最优；
• 红线右侧满足$b_{\pi (i+1)}$ ≤ $a_{\pi (i+1)}$ 和 $b_{\pi (i+1)}$ ≤ $b_{\pi (i)}$，符合johnson不等式: min{$b_{\pi (i)}$,$a_{\pi (i+1)}$}≥min{$b_{\pi (i+1)}$,$a_{\pi (i)}$} ，N2中作业调度顺序最优；
• 中间过渡部分横向比较，左侧 $a_{\pi (i)}$ ≤ $b_{\pi (i)}$,右侧$b_{\pi (i+1)}$ ≤ $a_{\pi (i+1)}$，符合johnson不等式: min{$b_{\pi (i)}$,$a_{\pi (i+1)}$}≥min{$b_{\pi (i+1)}$,$a_{\pi (i)}$} ，其作业调度顺序最优；
    若$a_{\pi (i)}$ ≤ $b_{\pi (i+1)}$ , 则$a_{\pi (i)}$ ≤ $b_{\pi (i+1)}$ ≤ $a_{\pi (i+1)}$ ，又$a_{\pi (i)}$ ≤ $b_{\pi (i)}$ ， 成立。
    若$a_{\pi (i)}$ ≥ $b_{\pi (i+1)}$ , 则$b_{\pi (i+1)}$ ≤ $a_{\pi (i)}$ ≤ $b_{\pi (i)}$ ，又$b_{\pi (i+1)}$ ≤ $a_{\pi (i+1)}$ ， 成立。

算法复杂度分析

  算法的主要计算时间花在对作业集的排序。因此，在最坏情况下算法所需的计算时间为O(nlogn)。所需的空间为O(n)。

作业调度的最短时间计算

两个作业调度

三个作业调度

核心代码

  参照上面的计算步骤进行分析,有些许不同。

class Jobtype 
{ 
public:
  int key, index;  // key保存ai和bi二者较小的值； index保存作业号i    
  bool job;   ///将满足条件ai
  
  int operator <=(Jobtype a) const 
  { 
  	return(key<=a.key); 
  } 
};

int FlowShop(int n, int a[], int b[], int c[])
{
    Jobtype *d = new Jobtype[n];  
    for(int i=0; i<n; i++)
    {
        d[i].key = a[i]>b[i]? b[i]:a[i]; //分别取b[i]和a[i]值较小的作为关键字 
                                                   
        d[i].job = a[i]<=b[i]; //将满足a[i]
                                                              
        d[i].index = i;     //将当前作业号i赋值给index
  	}
  	Sort(d, n);//对数组d按关键字key升序进行排序
    int j = 0,  k = n-1; //指向数组c的两个指针，j指向最前面，k指向最后面
                                  
    for(int i=0; i<n; i++)
    {  
       if(d[i].job)
          c[j++] = d[i].index; //将排过序的数组d，取N1中作业号,放到数组c的前面 
                                        
       else
          c[k--] = d[i].index;//将d中属于N2的作业号, 放到数组c的后面，从而实现N1的非减序排序，N2的非增序排序
                
    }
    
    j = a[c[0]];   //第一个作业a完成的时间
    k = j+b[c[0]];  //第一个作业a+b完成的时间
    for(int i=1; i<n; i++)
    { 
      j += a[c[i]]; //M1在执行c[i]作业的同时，M2在执行c[i-1]号作业，最短执行时间取决于M1与M2谁后执行完
      k = j<k? k+b[c[i]] : j+b[c[i]]; //计算最优加工时间
    }
    delete d;
    return k;
}

完整代码

  把在M1上工作的时间看做是先行工序时间，M2上的工作时间看成后行工序时间。
　　如果某个作业的M1时间>M2时间，它就是后行工序；反之，就是先行工序时间。

#include
#include
#include
#define n 6     //6个作业
using namespace std;



int M1[n]={2,7,6,4,6,8};
int M2[n]={5,3,2,7,9,2};
int c[n]={0};    //存放次序，注意：c[m]=k,意思是第m+1个执行的作业是k


class Node{
public:
    int time;    //时间
    int index;   //来自第几个作业
    int position;  //是先行工序还是后行工序


};



bool cmp(Node a,Node b){
    return a.timeM2[i]){
            node[i].time=M2[i];
            node[i].position=2;    //后行工序
        }
        else{
            node[i].time=M1[i];
            node[i].position=1;    //先行工序
        }
    }

    //虽然把n个作业都赋值到了Node型结构体中，
    //但是大小交错，没有顺序，
    //所以需要排序
    sort(node,node+n,cmp);
    //排完序后，把原本顺序都乱了，先行、后行工作虽然交错，但都已经从小到大排列了
    //需要用c数组记录执行顺序，先行工序从前往后放，后行工序从后往前放

    for(int i=0;itime2?time1+M2[c[i]]:time2+M2[c[i]];
    }
    cout<<"次序："<

测试样例

输入

数据已经在代码中给出
int M1[n]={2,7,6,4,6,8};
int M2[n]={5,3,2,7,9,2};

输出
次序：
1 4 5 2 6 3
35