【蓝桥杯】观光铁路（SPFA算法运用于非最短路问题）

问题描述

跳蚤国正在大力发展旅游业，每个城市都被打造成了旅游景点。
　　许多跳蚤想去其他城市旅游，但是由于跳得比较慢，它们的愿望难以实现。这时，小C听说有一种叫做火车的交通工具，在铁路上跑得很快，便抓住了商机，创立了一家铁路公司，向跳蚤国王请示在每两个城市之间都修建铁路。
　　然而，由于小C不会扳道岔，火车到一个城市以后只能保证不原路返回，而会随机等概率地驶向与这个城市有铁路连接的另外一个城市。
　　跳蚤国王向广大居民征求意见，结果跳蚤们不太满意，因为这样修建铁路以后有可能只游览了3个城市（含出发的城市）以后就回来了，它们希望能多游览几个城市。于是跳蚤国王要求小C提供一个方案，使得每只跳蚤坐上火车后能多游览几个城市才回来。 小C提供了一种方案给跳蚤国王。跳蚤国王想知道这个方案中每个城市的居民旅游的期望时间（设火车经过每段铁路的时间都为1），请你来帮跳蚤国王。
输入格式
　　输入的第一行包含两个正整数n、m，其中n表示城市的数量，m表示方案中的铁路条数。
　　接下来m行，每行包含两个正整数u、v，表示方案中城市u和城市v之间有一条铁路。
　　保证方案中无重边无自环，每两个城市之间都能经过铁路直接或间接到达，且火车由任意一条铁路到任意一个城市以后一定有路可走。
输出格式
　　输出n行，第i行包含一个实数 tBi t B i ，表示方案B中城市i的居民旅游的期望时间。你应当输出足够多的小数位数，以保证输出的值和真实值之间的绝对或相对误差不超过1e-9。
样例输入
4 5
1 2
2 3
3 4
4 1
1 3
样例输出
3.333333333333
5.000000000000
3.333333333333
5.000000000000
数据规模和约定
　　对于10%的测试点，n <= 10；
　　对于20%的测试点，n <= 12；
　　对于50%的测试点，n <= 16；
　　对于70%的测试点，n <= 19；
　　对于100%的测试点，4 <= k <= n <= 21，1 <= u, v <= n。数据有梯度。

解决过程

仔细一看，这根本就不是最短路问题嘛。
让我们简化一下问题
只求 i=1 i = 1 的 情形。

问题变成，对于城市 1 1 来说，出发回到原点的期望时间是多少？

首先，要明确几件事情

引理一

对于出发点城市 1 1 来说，出发到每个子节点的概率之和（出度）与父节点到本节点的概率之和（入度）相等，且为1。
这里的出度和入度，都是借用网络流概念。
很显然，城市1即是起点也是终点。

也就是说，乘客一定会回到原点，即使时间是 ∞ ∞

引理二 加权平均

对于概率 p1,p2……pn p 1 , p 2 … … p n 与相对应的值 x1,x2……xn x 1 , x 2 … … x n
它们的平均期望应该是

x¯=∑ni=1pi∗xi∑ni=1pi x ¯ = ∑ i = 1 n p i ∗ x i ∑ i = 1 n p i

这个平均期望对应的概率是

p=∑i=1npi p = ∑ i = 1 n p i

对于某个节点 k k

到达 k k 的平均期望就是 x¯ x ¯ ,到达 k k 的概率就是 p p
（如果以父节点的时间计算的话k的平均期望就是 x¯+∑ni=1pi∗1∑ni=1pi=x¯+1 x ¯ + ∑ i = 1 n p i ∗ 1 ∑ i = 1 n p i = x ¯ + 1 )

而这道题中有这么一个性质

性质：子节点不会影响父节点，父节点只会影响子节点。

这个性质可能看起来不怎么样。
让我们回想一下SPFA算法对Bellman - Ford算法的最大优化在哪？
对某个节点松弛操作后，只有这个节点的子节点受到了影响。
对了
这就是SPFA的核心思想

于是我们可以得出求解城市1的了

步骤

1. 建立两个数组，概率 p[i] p [ i ] ，时间 x[i] x [ i ] , i i 为城市节点。显然 p[1]=100%=1,x[1]=0 p [ 1 ] = 100 % = 1 , x [ 1 ] = 0
2. 城市1入队，指针 i i 指向城市1.
3. 除了城市1，如果 p[i]∗x[i]<1E−9(也就是10−9) p [ i ] ∗ x [ i ] < 1 E − 9 ( 也 就 是 10 − 9 ) 那么跳到步骤7。否则继续执行步骤4。
4. 计算子节点的数量 ni n i 和平分给子节点的概率 P=p[i]ni P = p [ i ] n i
5. 对于所有在队列内的子节点 k k （如果城市1是子节点那么也算在队列内，虽然实际并不在内）,计算并赋值加权平均
   x[k]=(x[i]+1)∗P+x[k]∗p[k]P+p[k] x [ k ] = ( x [ i ] + 1 ) ∗ P + x [ k ] ∗ p [ k ] P + p [ k ]
   和概率
   p[k]=P+p[k] p [ k ] = P + p [ k ]
6. 将所有在队列外的子节点 j j 入队(城市1除外)。对于每一个 j j ，赋值 p[j]=P,x[j]=x[i]+1 p [ j ] = P , x [ j ] = x [ i ] + 1 。
7. 对于本身节点，赋值 p[i]=0,x[i]=0 p [ i ] = 0 , x [ i ] = 0 ，出队，指针 i i 移向下一位。
8. 直到队列为空。

解释

第3步.这是搜索的边界条件。可以证明，时间的增长速度比概率的衰减速度要慢的多，对最终结果的影响有限。当然，存在有更精确的边界条件。不是唯一的。
第7步.这是保证，在队列内的概率总和不会大于100%。也就是说，回到城市1的概率不会大于100%。

于是我们就获得了单源的算法。
所以，对于所有的 i i ，都进行一次上面的类SPFA操作，就可以求得答案了。
由上面的边界条件可以看到，在最理想的情况下，一个点要经历估算至少 log2109≈30 log 2 ⁡ 10 9 ≈ 30 次入队才会排除
那么算法时间 O(kE)∗O(V)=O(kV2) O ( k E ) ∗ O ( V ) = O ( k V 2 ) （k为节点平均入队次数, ≥30 ≥ 30 ，E为边数，V为节点数。由无重边无自环，所以E=V）
还算是理想的效率.