相似矩阵和相似对角化

矩阵的相似

定义：设 A,B A , B 是两个 n n 阶方阵，若存在 n n 阶可逆矩阵 P P ,使得 P−1AP=B P − 1 A P = B ，则称 A A 相似于 B B ，记成 A∼B A ∼ B

矩阵相似是一种等价关系
(1) ( 1 ) A∼A A ∼ A （反身性）
(2) ( 2 ) 若 A∼B A ∼ B ,则 B∼A B ∼ A （对称性）
(3) ( 3 ) 若 A∼B,B∼C A ∼ B , B ∼ C 则 A∼C A ∼ C （传递性）

相似矩阵的性质
(1) ( 1 ) 若 A∼B A ∼ B 则有：

1∘: 1 ∘ : r(A)=r(B) r ( A ) = r ( B ) ;
2∘: 2 ∘ : |A|=|B| | A | = | B | ;
3∘: 3 ∘ : |λE−A|=|λE−B| | λ E − A | = | λ E − B | ；
4∘: 4 ∘ : A,B A , B 有相同的特征值

(2) ( 2 ) 若 A∼B A ∼ B 则有：
若 Am∼Bm;f(A)∼f(B) A m ∼ B m ; f ( A ) ∼ f ( B ) （其中 f(x) f ( x ) 是多项式）
(3) ( 3 ) 若 A∼B A ∼ B 且 A A 可逆，
则 A−1∼B−1,f(A−1)∼f(B−1) A − 1 ∼ B − 1 , f ( A − 1 ) ∼ f ( B − 1 ) （其中 f(x) f ( x ) 是多项式）
(4) ( 4 ) 若 P−1A1P=B1 P − 1 A 1 P = B 1 ， P−1A2P=B2 P − 1 A 2 P = B 2 ，
则 P−1A1A2P=P−1A1PP−1A2P P − 1 A 1 A 2 P = P − 1 A 1 P P − 1 A 2 P 即 A1A2∼B1B2 A 1 A 2 ∼ B 1 B 2
(5) ( 5 ) P−1(k1A1+k2A2)P=k1P−1A1P+k2P−1A2P P − 1 ( k 1 A 1 + k 2 A 2 ) P = k 1 P − 1 A 1 P + k 2 P − 1 A 2 P

对称矩阵的对角化(方阵)

对称矩阵的一些性质：
1：对称矩阵的特征值为实数
2：设 λ1 λ 1 和 λ2 λ 2 是对称矩阵 A A 的两个特征值， p1 p 1 ， p2 p 2 是对应的特征向量，若 λ1≠λ2 λ 1 ≠ λ 2 ,则 p1 p 1 和 p2 p 2 正交

定理：
设 A A 为 n n 阶对称矩阵，则必有正交矩阵 P P 使得， P−1AP=PTAP=Λ P − 1 A P = P T A P = Λ 其中 Λ Λ 是以 A A 的 n n 个特征值为对角元的对角矩阵

推论：
设 A A 为 n n 阶对称矩阵， λ λ 是 A A 的特征方程的 k k 重根，则矩阵 A−λE A − λ E 的秩 R(A−λE)=n−k R ( A − λ E ) = n − k ，从而对应的特征值 λ λ 恰好有 k k 个线性无关的特征向量。

矩阵可以对角化的条件

若存在可逆矩阵 P P ，使得 P−1AP=Λ P − 1 A P = Λ ，其中 Λ Λ 是对角矩阵，则称 A A 为可相似对角化，记 A∼Λ A ∼ Λ ，称 Λ Λ 是 A A 的相似标准型。

(1) ( 1 ) n n 阶矩阵 A∼Λ A ∼ Λ ⇔ ⇔ 有 n n 个线性无关的特征向量


(2) ( 2 ) 矩阵 A A 的属于不同的特征值的特征向量线性无关，若 n n 阶矩阵 A A 有 n n 个不同的特征值，则 A A 有 n n 个线性无关的特征向量，于是 A∼Λ A ∼ Λ


(3) ( 3 ) 设 λ0 λ 0 是 A A 的 r r 重特征值，则 A A 对应于 λ0 λ 0 的线性无关的特征向量的个数小于等于 r r .
矩阵 A A 相似于对角矩阵 ⇔ ⇔ A A 的对应于每个 ri r i 重特征值都有 ri r i 个线性无关的特征向量。

实对称矩阵必可相似于对角矩阵

(1) ( 1 ) A A 是实对称矩阵，则 A A 的特征值是实数，特征向量是实向量
(2) ( 2 ) 实对称矩阵 A A 的属于不同特征值的特征向量相互正交
(3) ( 3 ) 实对称矩阵 A A 必相似于对角矩阵，即必有 n n 个线性无关的特征向量 ξ1,ξ2,⋯,ξn ξ 1 , ξ 2 , ⋯ , ξ n ，即必有可逆矩阵 P=[ξ1,ξ2,⋯,ξn] P = [ ξ 1 , ξ 2 , ⋯ , ξ n ] 使得 P−1AP=Λ P − 1 A P = Λ ，其中 Λ=dig(λ1,λ2,⋯,λn) Λ = d i g ( λ 1 , λ 2 , ⋯ , λ n ) ，且存在正交矩阵 Q Q ，使得 Q−1AQ=QTAQ=Λ Q − 1 A Q = Q T A Q = Λ ,故 A A 正交相似于 A A .

奇异值分解(不是方阵)

假设 A A 是一个 m×n m × n ,其中 m>n m > n (这个假设只是为了方便，如果 m<n m < n ，所有结论依然成立)。
我们给出一种方法，确定 A A 是如何接近一个较小秩的矩阵。
这种方法包括将 A A 分解为一个乘积 UΣVT U Σ V T ,其中 U U 是一个 m×m m × m 的正交矩阵， V V 是一个 n×n n × n 的正交矩阵， Σ Σ 是一个 m×n m × n 的矩阵，其对角下的所有元素为 0 0 ,且对角线元素满足

σ1≥σ2≥⋯≥σn≥0 σ 1 ≥ σ 2 ≥ ⋯ ≥ σ n ≥ 0

Σ=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜σ1σ2⋱σn⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟ Σ = ( σ 1 σ 2 ⋱ σ n )

采用这种因式分解得到的 σi σ i 是唯一的，并且称 A A 的奇异值。
因式分解 UΣVT U Σ V T 称为 A A 的奇异值分解