第六章、正弦稳态电路分析

一、正弦电路的分析
标准直流:大小和方向均不随时间改变的恒定信号
交流:大小和方向都随时间做周期性变化的信号
二、正弦信号的三要素
随时间按正弦规律变动的电流称为正弦电流。
i = I m c o s ( w t + ψ i ) i=I_mcos(wt+\psi_i) i=Imcos(wt+ψi)
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I m I_m Im:振幅或幅值
ψ i \psi_i ψi:初项,一般 ∣ ψ i ∣ < π |\psi_i|<\pi ψi<π,与计时起点有关
w w w:角频率, w = 2 π T = 2 π f w=\frac{2\pi}{T}=2\pi f w=T2π=2πf
即,幅值,初项,角频率称为正弦信号的三要素。
三、我国标准频率为50Hz,称为工频, w = 100 π r a d / s w=100\pi rad/s w=100πrad/s
电网频率:美国和台湾为60Hz
人耳可以听见的声音频率约在 20 ~ 20000 Hz
移动通信频率:900MHz~1800 MHz
无线通信频率: 高达 300GHz
四、正弦电路常见概念
1、参考正弦量:图示电压 u u u通过最大值的瞬间作为时间坐标原点(t=0),此时 ψ u = 0 \psi_u=0 ψu=0,正弦电压为 u = U m c o s w t u=U_mcoswt u=Umcoswt i = I m c o s ( w t + ψ i ) i=I_mcos(wt+\psi_i) i=Imcos(wt+ψi)
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2、有效值:与交流热效应相等的直流量定义为交流电 的有效值,是瞬时值在一个周期内方均根值 I = 1 T ∫ 0 T i 2 d t = I m 2 I=\sqrt{\frac{1}{T}\int_0^Ti^2dt}=\frac{I_m}{\sqrt{2}} I=T10Ti2dt =2 Im
注意:
交流电压、电流表测量数据为有效值;
交流设备名牌标注的电压、电流均为有效值。

3、相位差:同频率正弦电压 u = U m c o s ( w t + ψ u ) u=U_mcos(wt+\psi_u) u=Umcos(wt+ψu)和正选电流 i = I m c o s ( w t + ψ i ) i=I_mcos(wt+\psi_i) i=Imcos(wt+ψi)的相位差, ϕ = ψ u − ψ i \phi=\psi_u-\psi_i ϕ=ψuψi
注意:
~两同频率的正弦量之间相位差为常数,与计时起点无关。
~不同频率的正弦量比较无意义。
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五、复数表示法
1、设A是一个复数,可表示为 直角坐标式 A = a + j b A=a+jb A=a+jb
极坐标式: A = ∣ A ∣ e j θ A=|A|e^{j\theta} A=Aejθ,简写: A = ∣ A ∣ ∠ θ A=|A|\angle\theta A=Aθ
a = ∣ A ∣ c o s θ , b = ∣ A ∣ s i n θ , θ = a r c t a n b a a=|A|cos\theta,b=|A|sin\theta,\theta =arctan\frac{b}{a} a=Acosθb=Asinθ,θ=arctanab
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正弦量的相量表示: f ( t ) = A m c o s ( w t + ψ ) f(t)=A_mcos(wt+\psi) f(t)=Amcos(wt+ψ)
由欧拉公式得: A m ˊ = A m e j ψ = A m ∠ ψ \acute{A_m}=A_me^{j\psi}=A_m\angle{\psi} Amˊ=Amejψ=Amψ
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注:
~相量只是表示正弦量,而不等于正弦量
~只有正弦量才能用相量表示,非正弦量不能
~只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上
~相量的两种表示形式 ,直坐标,极坐标

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六、相量运算规则
1、唯一性:两个同频率正弦量相等的充要条件是代表这两个正弦量的相量 相等。即对于所有的时间 t , R e [ A ˊ 1 m e j w t ] = R e [ A ˊ 2 m e j w t ] Re[\acute{A}_{1m}e^{jwt}]=Re[\acute{A}_{2m}e^{jwt}] Re[Aˊ1mejwt]=Re[Aˊ2mejwt]充要条件 A ˊ 1 m = A ˊ 2 m \acute{A}_{1m}=\acute{A}_{2m} Aˊ1m=Aˊ2m
2、线性性质:N个同频率正弦量线性组合(具有实系数)的相量等于各个 正弦量相量的同样的线性组合。设 f k ( t ) = R e [ A ˊ m k e j w t ] f_k(t)=Re[\acute{A}_{mk}e^{jwt}] fk(t)=Re[Aˊmkejwt] ∑ k = 1 N b k ∗ f k ( t ) ⇔ ∑ k = 1 N b k ∗ A ˊ m k \sum_{k=1}^Nb_k*f_k(t)\Leftrightarrow \sum_{k=1}^Nb_k*\acute{A}_{mk} k=1Nbkfk(t)k=1NbkAˊmk
3、微分规则:正弦量(角频率为ω) 时间导数的相量等于表示原正弦量的相 量乘以因子 j ω jω jω
即: d d t f ( t ) ⇔ j w A ˊ m \frac{d}{dt}f(t)\Leftrightarrow jw\acute{A}_{m} dtdf(t)jwAˊm
4、积分规则:正弦量(角频率为ω) 时间积分的相量等于表示原正弦量的相 量除以因子 j ω jω jω
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七、 基尔霍夫定律相量形式
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八、RLC 各元件伏安特性相量形式
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九、阻抗和导纳
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导纳
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十、正弦交流含独立源一端口网络如图 (a)所示
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