线性代数——矩阵的逆

线性代数—矩阵的逆

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1、计算二阶矩阵的逆

[acbd]−1=1ad−bc[d−c−ba]

2、计算矩阵的逆（余子式法）

A=⎡⎣⎢⎢101021151⎤⎦⎥⎥

• 矩阵A的余子式（matrix of minors）
  

  B=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢∣∣∣2151∣∣∣∣∣∣0111∣∣∣∣∣∣0215∣∣∣∣∣∣0151∣∣∣∣∣∣1111∣∣∣∣∣∣1015∣∣∣∣∣∣0121∣∣∣∣∣∣1101∣∣∣∣∣∣1002∣∣∣⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢−3−1−2−505−212⎤⎦⎥⎥

• 矩阵A的代数余子式（matrix of cofactors）
  

  C=B×⎡⎣⎢⎢+−+−+−+−+⎤⎦⎥⎥=⎡⎣⎢⎢−31−250−5−2−12⎤⎦⎥⎥

• 矩阵A的伴随矩阵（the adjoint of matrix）
  

  A∗=CT=⎡⎣⎢⎢−35−210−1−2−52⎤⎦⎥⎥

• 矩阵A的行列式
  

  |A|=+A11B11−A12B12+A13B13=−5|A|=−A21B21+A22B22−A23B23=−5|A|=+A31B31−A32B32+A33B33=−5

• 矩阵A的逆（the inverse of matrix）
  

  A−1=1|A|A∗=−15⎡⎣⎢⎢−35−210−1−2−52⎤⎦⎥⎥

3、计算矩阵的逆（行初等变换法）

        每作一次初等行变换，就相当于给增广矩阵的左侧和右侧分别左乘一个初等变换矩阵，当左侧变为单位矩阵时，右侧就变为原矩阵的逆矩阵。

4、解线性方程组

{3a+2b=7−6a+6b=6    可表示为 [3−626][ab]=[76]

[ab]=[3−626]−1[76]=[12]

5、子空间窥探

        已知

a⃗ =[3−6],  b⃗ =[26],  c⃗ =[76]

        问是否存在系数 x,y 使得

a⃗ x+b⃗ y=c⃗ 

        求解可得

[xy]=[12]

        这可以理解为，在向量a和b所张成的子空间中，向量c的坐标为(1,2)

6、判断矩阵是否可逆

A−1=1|A|A∗

        由上述定义可知，当 |A|=0 时，矩阵 A 的逆不存在。下面以二阶矩阵为例来阐述其背后的原因，设

A=[acbd]

        如果 |A|=ad−bc=0 ，则有

ac=bd    或者   ab=cd

        因次，下列线性方程组无解

[acbd][xy]=[ef]=>{ax+by=ecx+dy=f=>{y=−abx+eby=−cdx+fd