编译原理——用C#实现正则表达式到最小DFA的转换

源码已公布在GitHub上，本来是写了这个功能给记事本提供正则表达式的搜索和替换功能，但是记事本那边暂时有一点点bug所以没放在一起。
如果想知道构造出来的自动机的结构，我写的代码支持用graphviz进行显示。代码里会告诉你怎么画出跟下面一样的图：
接下来我大致讲一下整个代码的结构，而具体的实现请参考GitHub里的代码，关键步骤都打了注释（应该）。

正则表达式转NFA

Thompson算法

Thompson算法是经典的NFA构造算法，以递归方式将正则表达式划分为若干子表达式，得到每个子表达式所对应的子NFA，再根据子表达式之间的运算关系构造完整的NFA。下图为4种基本子表达式（单独、连接、或、Kleene闭包）的NFA构造示例，其中：m1和m2分别表示2个状态机；ε表示空串匹配；s为初始状态；f为接受状态。

正则表达式插入连接符号

因为输入的正则表达式都是长这样子’aabb’，是忽略了连接符号的结果，所以代码中要给他加入连接符号，即变为’a.a.b.b’。

转后缀式

如果要使用Thompson算法的话要把表达式转为后缀式才方便处理，即把上一节中的表达式’a.a.b.b’变为’aa.b.b.’

构造过程

每次读入后缀式的一个字符，如果是字母表上的就使用单字符匹配函数，如果是某种操作就调用该操作对应的函数即可。

NFA转DFA

NFA转DFA算法我采用的是子集构造（subset construction）算法。接下来在表1中给出子集构造算法中所需要的一些函数的定义。这些函数描述了一些需要在这个算法中执行的N的状态集上的基本操作。S表示N的单个状态，而T代表N的一个状态集。

本来在word里写的，格式不好转就直接截图过来了。

注意

NFA转DFA的时候，经常需要在DFA集合中加入一个死状态。所谓死状态就是任何输入下都指向自己的状态。如果进入死状态就代表输入字符串已不符合该正则表达式的规则。

最小化DFA的状态数

DFA状态最小化算法的工作原理是将一个DFA的状态集合划分为多个组，每个组中的各个状态之间相互不可区分。然后，将每个组的状态中的状态合并成状态最少DFA的一个状态。算法在执行过程中维护了状态集合的一个划分，划分中的每个组内的各个状态尚不能区分，但是来自不同组的任意两个状态是可区分的。当任意一个组都不能再被分解为更小的组时，这个划分就不能再进一步精化，此时我们就得到了状态最少的DFA。
最初，该划分包含两个组：接收状态组和非接受状态组。算法的基本步骤是从当前划分中取一个状态组，比如A={s1, s2, …, sk}，并选定某个输入符号a，检查a是否可以用于区分A中的某些状态。我们检查s1, s2, …, sk在a上的转换，如果这些转换到达的状态落入当前划分的两个或多个组中，我们就将A分割成为多个组，使得si和sj在同一组中当且仅当它们在a上的转换都到达同一个组的状态。我们重复这个分割过程，直到无法根据某个输入符号对任意个组进行分割位置。这个思想体现在代码2里。

重复代码2，直到没有新的划分产生。然后每个组都选取一个代表。最小化DFA的开始状态是包含D的开始状态的组的代表。最小化DFA的接受状态是包含D的接受状态的组的代表。