漫谈匈牙利算法

匈牙利算法是由匈牙利数学家Edmonds于1965年提出，因而得名。匈牙利算法是基于Hall定理中充分性证明的思想，它是部图匹配最常见的算法，该算法的核心就是寻找增广路径，它是一种用增广路径求二分图最大匹配的算法。（来自百度百科）

浅显的讲，就是寻找二部图的最大匹配，先写出几个概念；

二部图：二分图又称作二部图，是图论中的一种特殊模型。 设G=(V,E)是一个无向图，如果顶点V可分割为两个互不相交的子集(A,B)，并且图中的每条边（i，j）所关联的两个顶点i和j分别属于这两个不同的顶点集(i in A,j in B)，则称图G为一个二分图。（来自百度百科）

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当子图中没有任何一个同时连接Xi和Yj的同一顶点的时候我们称为二部图的一个匹配，记为集合M

什么是最大匹配呢 如下图

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当匹配集合中的边数达到最大的时候，这就是一个最大匹配，如上图；

再提出几个个概念
未覆盖点：就是在集合M中没有边连接到的点称为未覆盖点。
完美匹配：当M是二部图的最大匹配且没有未覆盖点的时候，则这个集合M就是二部图的完美匹配。上图中的匹配就是完美匹配，在符合最大匹配的同时，M集合中的边覆盖了二部图的所有点。

最后一个最关键的概念：增广路径 ；
匈牙利算法的核心就是不停的寻找增广路径来扩充匹配集合M，什么是增广路经呢？（来自百度百科）

1－P的路径长度必定为奇数。
2－起点在左，终点在右。
3－路径中的点左右交替出现。
4－只有起点和终点是未覆盖点，其他点都配对。
5 -对增广路径编号，所有奇数的边都不在M中，偶数边在M中。
6 -对增广路径取反得到的匹配比原来匹配多一个。

我们给出实例来理解。

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我们寻找如上图的最大匹配;首先M集合为空（即没有边在里面），然后开始从X1寻找增广路，遵循2的原则我们只能在Yi中找，找到Y1，（X1，Y1 ）这条路径，满足1-5的条件,取反，将（X1，Y1 ）这条路径加入到M中。

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接着，我们找到X2点，遵循原则，找到Y1，Y1不是未覆盖点，这个时候我们有两种选择，一个是深度搜索，一个是广度搜索，我们采用深度优先，虽然Y1不是未覆盖点，（X2,Y1）不是增广路，但是Y1连着X1，X1又和Y3相连，我们考虑（ X2,Y1,X1,Y3 ）这条路径，奇数？左右交替？起终点未覆盖？奇路径不属于M偶路径属于？满足所有增广路条件，所以这是一条增广路径，然后取反，得到如下图。

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现在M集合中的路径有两条了，由于我们找到了增广路径，使得M中的边数量增加。所以增广路径是匈牙利算法的核心，每找到一条增广路径，意味这M集合中边的数量就会增加1，当找不到增广路径的时候，这个时候M中边的数量就是我们二部图的最大匹配数量。我们是怎样找到这条路径的呢，从X2开始寻找，我们先找到Y1，Y1不是未覆盖点，我们考虑Y1的原有匹配点X1，从X1开始寻找增广路，找到了Y3，当X1有增广路的时候，那么加上(X1,Y1)(X2,Y1)这两条路经，依然满足增广路条件。所以基于我们上面的理解可以给出寻找增广路的伪代码

  while(找到Xi的关联顶点Yj){
          if(顶点Yj不在增广路径上){
                将Yj加入增广路
               if(Yj是未覆盖点或者Yj的原匹配点Xk能找到增广路径){ //扩充集合M
                      将Yj的匹配点改为Xi;
                      返回true
           }
      }
               返回false
}

从X2开始寻找是基于深度优先的，如果是基于广度优先呢？那么X2就会找到Y2。

给出C语言代码

typedef struct tagMaxMatch{
    int edge[COUNT][COUNT];
    bool on_path[COUNT];
    int path[COUNT];
    int max_match;
}GRAPH_MATCH;

void outputRes(int *path){
    for (int i = 0 ; ion_path[j] = false;
    }
   
}
//dfs算法
bool FindAugPath(GRAPH_MATCH *match , int xi){
    
    for (int yj = 0 ; yj < COUNT; yj++) {
        if ( match->edge[xi][yj] == 1 && !match->on_path[yj]) { //如果yi和xi相连且yi没有在已经存在的增广路经上
             match->on_path[yj] = true;
            if (match->path[yj] == -1 || FindAugPath(match,match->path[yj])) { // 如果是yi是一个未覆盖点或者和yi相连的xk点能找到增广路经，
                  match->path[yj] = xi; //yj点加入路径;
                  return true;
            }
        }
    }
    return false;
}

void Hungary_match(GRAPH_MATCH *match){
    for (int xi = 0; xipath);
}

int main() {
    
    GRAPH_MATCH *graph = (GRAPH_MATCH *)malloc(sizeof(GRAPH_MATCH));
    for (int i = 0 ; i < COUNT ; i++) {
        for (int j = 0 ; j < COUNT ; j++) {
            graph->edge[i][j] = 0;
        }
    }
    graph->edge[0][1] = 1;
    graph->edge[0][0] = 1;
    graph->edge[1][1] = 1;
    graph->edge[1][2] = 1;
    graph->edge[2][1] = 1;
    graph->edge[2][0] = 1;
    graph->edge[3][2] = 1;
    
    for (int j = 0 ; j < COUNT ; j++) {
        graph->path[j] = -1;
        graph->on_path[j] = false;
    }
    
    Hungary_match(graph);
    
    
}