B树B+树

B树和B+树

B 树

B-tree（B-tree树即B树，B即Balanced，平衡的意思）这棵神奇的树是在Rudolf Bayer, Edward M. McCreight(1970)写的一篇论文《Organization and Maintenance of Large Ordered Indices》中首次提出的wikipedia中：http://en.wikipedia.org/wiki/B-tree，阐述了B-tree名字来源以及相关的开源地址，它在文件系统和数据库系统中使用较多，适用于组织动态的索引结构。它不是二叉树而是树，是一种多路平衡查找树。多路是指树的分支多余二叉，；平衡是指所有的叶子节点均在同一层上，以避免出现单支树的情况。要注意的是国内很多资料里称B树为B-树，这里的‘-’是英文的连字符，不是“B减树”。
以下是wikipedia中对B树的简述：
In computer science, a B-tree is a self-balancing tree data structure that keeps data sorted and allows searches, sequential access, insertions, and deletions in logarithmic time. The B-tree is a generalization of a binary search tree in that a node can have more than two children (Comer 1979, p. 123). Unlike self-balancing binary search trees, the B-tree is optimized for systems that read and write large blocks of data. B-trees are a good example of a data structure for external memory. It is commonly used in databases and filesystems.

B树的阶：树中所有节点的孩子节点的最大值就是B树的阶。通常用M表示，从查找效率来看， 通常取 M >= 3.

一个M阶的B树的定义如下：
该树或者是空树， 或者满足如下条件：

• 树中每个结点最多含有m个孩子（m>=2）；
• 除根结点和叶子结点外，其它每个结点至少有[ceil(m / 2)]个孩子（其中ceil(x)是一个取上限的函数）；
• 若根结点不是叶子结点，则至少有2个孩子（特殊情况：没有孩子的根结点，即根结点为叶子结点，整棵树只有一个根节点）；
• 所有叶子结点都出现在同一层，叶子结点不包含任何关键字信息(可以看做是外部接点或查询失败的接点，实际上这些结点不存在，指向这些结点的指针都为null)；
• 每个非终端结点中包含有n个关键字信息： (n，P0，K1，P1，K2，P2，……，Kn，Pn)。其中：
  a) Ki (i=1…n)为关键字，且关键字按顺序升序排序K(i-1)< Ki。
  b) Pi为指向子树根的接点，且指针P(i-1)指向子树种所有结点的关键字均小于Ki，但都大于K(i-1)。
  c) 关键字的个数n必须满足： [ceil(m / 2)-1]<= n <= m-1。

B树的数据类型描述为：

#define m 20

typedef struct Node
{
int keyNum; //关键字的个数
int keys[m]; //关键字序列
struct Node *parent; //前驱域，插入删除时需要查询到前驱节点
struct Node *child[m]; //子节点序列
}mBTNode, *mBTree;

B树的查找:
基于B树的查找非常类似于二叉排序树的查找，但是在每个节点向下查找的时候，查找的路径不止两条，而是至少是m条。对根节点内有序存放的关键字序列可以用折半查找法查找， 也可以用顺序查找。具体如下：
若待查关键字为key，根节点内地i个关键字为Ki，则查找分为以下几种情况：
（1）:若key = Ki，则查找成功;
（2）:若key < Ki，则沿着P0所指的子树继续查找；
（3）:若Ki < key < Ki+1,则沿指针Pi所指的子树继续查找；
（4）:若key > Ki，则沿着指针Pn所指的子树继续查找；
（5）:若直至查找的叶子节点还是没有查找的，则查找失败。

B树的插入：
插入一个元素时，首先在B树中是否存在，如果不存在，即在叶子结点处结束，然后在叶子结点中插入该新的元素，注意：如果叶子结点空间足够，这里需要向右移动该叶子结点中大于新插入关键字的元素，如果空间满了以致没有足够的空间去添加新的元素，则将该结点进行“分裂”，将一半数量的关键字元素分裂到新的其相邻右结点中，中间关键字元素上移到父结点中（当然，如果父结点空间满了，也同样需要“分裂”操作），而且当结点中关键元素向右移动了，相关的指针也需要向右移。如果在根结点插入新元素，空间满了，则进行分裂操作，这样原来的根结点中的中间关键字元素向上移动到新的根结点中，因此导致树的高
度增加一层。具体操作如下：
（1）:如果该叶子节点的关键字总数小于m-1个，说明该节点还有空位置可以插入，B树的性质不会破坏；
（2）:如果该叶子节点的关键字总数等于m-1个，说明该节点没有空位置可以插入了，此时插入操作会破坏B树的性质，必须进行分裂调整，过程如下：
a：以中间位置上的关键字为分裂点，将该节点分裂为两个节点；
b：将中间位置上的关键字向上插入到该节点的父节点上；
c：若双亲节点已满，则重复上述操作。

实际上，B树的创建就是利用B树的插入算法，从空树开始，逐渐插入关键字，从而创建一颗B树。
给定关键字序列{ 70， 45， 80， 20， 10， 30， 50， 655， 75， 90 }，创建一个3阶B树的过程如下：

B树的删除：
B树的删除操作类似于插入操作，但比插入操作稍微复杂点。首先函数查找待删除节点，若查找失败不必删除，入找到，则进行删除操作：
（1）:在叶子节点上删除key；
这种情况分三种：
a:若叶子节点的关键字个数大于[m/2]-1，则直接删除key不会破坏B树的性质；

b:若叶子节点个数等于[m/2]-1，则直接删除key会破坏B树的性质。若叶子节点的左（或者右）星弟节点中的关键字数目大于[m/2]-1，则将左兄弟节点上的最大关键字上移到父节点，而将父节点中大于（或者小于）上移关键字的关键字下移到叶子节点中，即“父子换位法”；

c:若叶子节点及相邻的左右节点关键字均等于[m/2]-1，则必须将叶子节点和左（或者右）兄弟合并。可以设叶子节点有右兄弟，在叶子节点中删除key后，将父节点中介于叶子节点和兄弟节点之间的关键字k座位中间关键字，并与二者一起合并为一个新节点，此时新节点中恰有2*[m/2]-2个关键字，仍然小于m-1个关键字，没有破坏B树的性质。但是由于父节点中删除了关键字k，若父亲节点中的关键字大于[m/2]-1，则删除操作结束，否则同样要与其左右兄弟合并，这个合并过程可能一直到根节点。

（2）:非叶子节点上删除关键字key。
用key的中序前驱或者中序后继取代key，然后从叶子节点中删除该中序前驱或者中序后继节点。当删除完后可能出现上述的现象，按照上面的方法进行调整。

B+树

B+-tree：是应文件系统所需而产生的一种B-tree的变形树。
一棵m阶的B+树和m阶的B树的异同点在于：
1.有n棵子树的结点中含有n-1 个关键字； (此处颇有争议，B+树到底是与B 树n棵子树有n-1个关键字 保持一致，还是不一致：B树n棵子树的结点中含有n个关键字，待后续查证。暂先提供两个参考链接：①wikipedia 中B+树的介绍链接为：http://en.wikipedia.org/wiki/B%2B_tree#Overview；②http://hedengcheng.com/?p=525)
2.所有的叶子结点中包含了全部关键字的信息，及指向含有这些关键字记录的指针，且叶子结点本身依关键字的大小自小而大的顺序链接。 (而B 树的叶子节点并没有包括全部需要查找的信息)
3.所有的非终端结点可以看成是索引部分，结点中仅含有其子树根结点中最大（或最小）关键字。 (而B 树的非终节点也包含需要查找的有效信息)

B+树的优点：
1) B+-tree的磁盘读写代价更低
B+-tree的内部结点并没有指向关键字具体信息的指针。因此其内部结点相对B 树更小。如果把所有同一内部结点的关键字存放在同一盘块中，那么盘块所能容纳的关键字数量也越多。一次性读入内存中的需要查找的关键字也就越多。相对来说IO读写次数也就降低了。
举个例子，假设磁盘中的一个盘块容纳16bytes，而一个关键字2bytes，一个关键字具体信息指针2bytes。一棵9阶B-tree(一个结点最多8个关键字)的内部结点需要2个盘快。而B+ 树内部结点只需要1个盘快。当需要把内部结点读入内存中的时候，B 树就比B+ 树多一次盘块查找时间(在磁盘中就是盘片旋转的时间)。
2) B+-tree的查询效率更加稳定
由于非终结点并不是最终指向文件内容的结点，而只是叶子结点中关键字的索引。所以任何关键字的查找必须走一条从根结点到叶子结点的路。所有关键字查询的路径长度相同，导致每一个数据的查询效率相当。

参考书籍：《数据结构与算法》- 人民邮电出版社
参考博客：http://blog.csdn.net/u013400245/article/details/52824744
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