图论 | 欧拉路径 / 回路

欧拉路径 / 回路

基本概念

• 欧拉路径：图G中的一个路径包括每个边恰好一次，则该路径称为欧拉路径
• 欧拉回路：如果一个回路是欧拉路径，则称为欧拉回路
• 具有欧拉回路的图称为欧拉图（简称E图）。具有欧拉路径但不具有欧拉回路的图称为半欧拉图。

判断条件

有向图

• 欧拉路径：有一个点出度比入度多1(起点)，有一个点入度比出度多1(终点)，其余点出度等于入度
• 欧拉回路：每个顶点出度等于入度

无向图

• 欧拉路径：有且仅有两个点的入度为1，分别是起点和终点
• 欧拉回路：图中所有顶点的度数都是偶数，并且该图是连通图

例题

Leetcode 332. 重新安排行程

题目描述

给定一个机票的字符串二维数组 [from, to]，子数组中的两个成员分别表示飞机出发和降落的机场地点，对该行程进行重新规划排序。所有这些机票都属于一个从JFK（肯尼迪国际机场）出发的先生，所以该行程必须从 JFK 出发。

说明:

如果存在多种有效的行程，你可以按字符自然排序返回最小的行程组合。例如，行程 [“JFK”, “LGA”] 与 [“JFK”, “LGB”] 相比就更小，排序更靠前
所有的机场都用三个大写字母表示（机场代码）。
假定所有机票至少存在一种合理的行程。
示例 1:

输入: [["MUC", "LHR"], ["JFK", "MUC"], ["SFO", "SJC"], ["LHR", "SFO"]]
输出: ["JFK", "MUC", "LHR", "SFO", "SJC"]

示例 2:

输入: [["JFK","SFO"],["JFK","ATL"],["SFO","ATL"],["ATL","JFK"],["ATL","SFO"]]
输出: ["JFK","ATL","JFK","SFO","ATL","SFO"]
解释: 另一种有效的行程是 ["JFK","SFO","ATL","JFK","ATL","SFO"]。但是它自然排序更大更靠后。

代码

普通dfs

class Solution {
public:
    vector<string> ans;
    vector<string> cur;

    vector<string> findItinerary(vector<vector<string>>& tickets) {
        int n = tickets.size();
        if(n == 0) return ans;

        sort(tickets.begin(), tickets.end());
        vector<int>visited(n, 0);

        for(int i = 0; i < n; i++){
            if(tickets[i][0] == "JFK"){
                ans.push_back("JFK");
                dfs(tickets, n, tickets[i][0], visited);
                break;
            }
        }

        return ans;
    }

    void dfs(vector<vector<string>>& tickets, int n, string start, vector<int>& visited){
        for(int i = 0; i < n; i++){
            if(!visited[i] && tickets[i][0] == start){
                visited[i] = 1;
                ans.push_back(tickets[i][1]);
                int oldans = ans.size();
                dfs(tickets, n, tickets[i][1], visited);
                if(oldans == ans.size() && (ans.size() != n+1)){
                    visited[i] = 0;
                    ans.pop_back();
                }
            }
        }
        return;
    }
};

欧拉路径

vector<string> findItinerary(vector<vector<string>> &tickets) {
        unordered_map<string, multiset<string>> m; //multiset相当于小根堆,用于排序
        for(auto& ticket : tickets)
            m[ticket[0]].insert(ticket[1]);
        vector<string> ans;
        dfs("JFK", m, ans);
        return vector<string>(ans.rbegin(), ans.rend());
    }

    void dfs(string from, unordered_map<string, multiset<string>>& m, vector<string> &ans){
        while(m[from].size() != 0){
            string to = *m[from].begin();
            m[from].erase(m[from].begin());
            dfs(to, m, ans);
        }
        ans.push_back(from); // 将孤立节点放在最后访问
    }