【算法设计与分析】第四章 分治法

选最大与最小

一、选择问题
输入集合 L (含n个不等的实数)，输出L中第 i 小的元素。
当i=n时，称为最大元素；
当i=1时, 称为最小元素；
位置处在中间的元素，称为中位元素。
n为奇数，中位数唯一，i = (n+1)/2；
n为偶数，可指定 i = n/2+1。

选最大：顺序比较，先选最大 max。
算法最坏情况下的时间：$W(n)=n-1$。
选最大最小 ：
1）顺序比较
先顺序比较选最大 max；在剩余数组中顺序比较选最小min。
算法最坏情况下的时间：$W(n)=2n-3$
2）分组算法
将 n 个元素两两一组分成⌊n/2⌋组，每组比较，得到 ⌊n/2⌋ 个较小和 ⌊n/2⌋ 个较大的数；在⌊n/2⌋个较大（含轮空元素）中找最大 max；在⌊n/2⌋个较小（含轮空元素）中 找最小 min。
算法最坏情况下的时间：$W(n)=\lceil 3n/2\rceil -2$
3）分治算法
将数组 L从中间划分为两个子数组 L1 和 L2 9；分别递归地在 L1和L2中求 max1、min1和max2、min2
max = max{ max1 , max2}
min = min{ min1 , min2}
算法最坏情况下的时间：$W(n)=\lceil 3n/2\rceil -2$

选第二大

1.顺序比较
顺序比较找到最大 max ；从剩下 n -1个数中找最大，就是第二大second
时间复杂度：$W(n)=2n-3$
2.锦标赛算法
两两分组比较，大者进入下一轮，直到剩下 1个元素 max 为止。在每次比较中淘汰较小元素，将被淘汰元素记录在淘汰它的元素的链表上。检查 max 的链表，从中找到最大元，即second。
1）设参与比较的有 t 个元素，经过i 轮淘汰后元素数至多为⌈t /2i⌉ .
2）max 在第一阶段分组比较中总计进行了⌈log n⌉次比较.
时间复杂度是：$W(n)=n+\lceil logn\rceil -2$.

选择问题

一、一般选择问题的算法设计
输入数组 S, S 的长度 n, 正整数 k, 1<= k<=n. 输出第 k 小的数.
1）调用 k 次选最小算法
时间复杂度为：$O(kn)$
2）先排序，然后输出第 k 小的数
时间复杂度为：$O(nlogn)$
3）分治算法
用某个元素 m作为标准将 S 划分成 S1 与 S2，其中 S1的元素小于 m，S2 的元素大于等于 m*。如果 k < |S1|，则在 S1中找第 k 小的数；如果 k = |S1|+1，则 m*是第 k 小的数；如果 k > |S1|+1，则在 S2中找第k-|S1|-1小的数。

可以将数组分为5个一组，，再每组找出来一个中位数，再在所有的中位数中找出中位数m* ，以这个数为界限分成两块，再再将不能确定的数注意与m* 比较，分好组之后，比较小于m* 一组数个数，与k的关系，译者递归下去，知道找到符合条件的数。
时间复杂度：$W(n)=\theta (nlogn)$

卷积及其应用

一、向量计算
给定向量：
a = (a0, a1, …, an-1)
b = (b0, b1, …, bn-1)
向量和: $a+b=(a_0+b_0,a_1+b_1,\dots ,a_{n-1}+b_{n-1})$
内积 :$a\ast b=a_0\ast b_0+a_1\ast b_1+\dots +a_{n-1}\ast b_{n-1}$
卷积:$a\ast b=(c_0,c_1,\dots ,c_{2n-2})$,其中${\Sigma }_{i+j=k;i,j<n}{a}_i\ast a_j,k=0,1,...,2n-2;$

卷积与多项式乘法
多项式乘法：C(x) = A(x) B(x)
$A(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\dots +a_{m-1}{x}^{m-1}$
$B(x)=b_0+b_{1}x+b_2{x}^2+\dots +b_{n-1}{x}^{n-1}$
$C(x)=a_0{b}_0+(a_0{b}_1+a_1{b}_0)x+\dots +a_{m-1}{b}_{n-1}{x}^{m+n-2}$

卷积应用：信号平滑处理

二、卷积计算
1.蛮力算法
向量 a=(a0,a1,…,an-1)和b=(b0,b1,…,bn-1)
$A(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\dots +a_{n-1}{x}^{n-1}$
$B(x)=b_0+b_{1}x+b_2{x}^2+\dots +b_{n-1}{x}^{n-1}$
$C(x)=a_0{b}_0+(a_0{b}_1+a_1{b}_0)x+\dots +a_{n-1}{b}_{n-1}{x}^{2n-2}$
蛮力算法的时间：O (n2)
2.快速傅立叶变换FFT
1）对 $x=1,{\omega }_1,{\omega }_2,\dots ,{\omega }_{2n-1}$, 分别计算A(x)，B(x)
2) 利用步1的结果对每个$x=1,{\omega }_1,{\omega }_2,\dots ,{\omega }_{2n-1}$, 计算C(x)，得到$C(1)=d_0,C({\omega }_1)=d_1,\dots ,C({\omega }_{2n-1})=d_{2n-1}$
3）构造多项式$D(x)=d_0+d_{1}x+d_2{x}^2+\dots +d_{2n-1}{x}^{2n-1}$
4）对$x=1,{\omega }_1,{\omega }_2,\dots ,{\omega }_{2n-1}$, 计算$D(x),D(1),D({\omega }_1),\dots ,D({\omega }_{2n-1})$

快速傅立叶变换:FFT算法

多项式求值算法
给定多项式：
$A(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\dots +a_{n-1}{x}^{n-1}$设 x 为1 的 2n 次方根，对所有的 x 计算 A(x) 的值.
1.蛮力法
依次计算每个项 $a_i\ast x^i$，i =1, … , n-1 对$a_i\ast x^i$ (i=0,1,…,n-1)求和.
时间复杂度: $T1(n)=O(n^3)$
2.改进：
依次对 每个 x 做下述计算
$A1(x)=a{n}_1$
$A2(x)=an-2+x{A}_1(x)=a_{n-2}+a_{n-1}x{A}_3(x)=a_{n-3}+x{A}_2(x)=a_{n-3}+a_{n-2}x+a_{n-1}{x}^2$
……
$A_n(x)=a_0+x{A}_{n-1}(x)=A(x)$
时间复杂度 ：$T_2(n)=O(n^2)$

偶系数与奇系数多项式
$A(x)=A_{even}(x_2)+x{A}_{odd}(x_2)$

3.分治多项式求值算法
一般公式（n为偶数）
$A(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\dots +a_{n-1}{x}^{n-1}$
$A_{even}(x)=a_0+a_{2}x+a_4{x}^2+\dots +a_{n-2}{x}^{(n-2)/2}$
$A_{odd}(x)=a_1+a_{3}x+a_5{x}^2+\dots +a_{n-1}{x}^{(n-2)/2}$
$A(x)=A_{even}(x^2)+x{A}_{odd}(x^2)$

时间复杂度：$T(n)=O(nlogn)$

平面点集的凸包

问题（平面点集的凸包）
给定大量离散点的集合Q，求一个最小的凸多边形，使得Q中的点在该多边形内或者边上.

1. 以 连接最大纵坐标点 $y_{max}$ 和最小纵坐标点 $y_{min}$ 的线段d={$y_{max}$,$y_{min}$}划 分L 为左点集 Lleft 和右点集 Lright
2. $Deal(L_{left})$；$Deal(L_{right})$
3. $Deal(L_{left})$：考虑$L_{left}$：确定距d最远的点P 在三角形内的点，删除；a 外的点与 a 构成 $L_{left}$ 的子问题;b 外的点与 b 构成 $L_{left}$ 的子问题 .
   $Deal(L_{right})$，同理。