动态规划-最大连续子序列和

动态规划-最大连续子序列和

1. 问题描述

   给定一个数字序列A1,A2,…,An,求i,j(1<=i<=j<=n)，使得Ai+…Aj最大，输出这个最大和。

2. 样例

   -2 11 -4 13 -5 -2
   显然 11 + (-4) + 13 = 20 为和最大的选取情况，因此最大和为20
   

下面介绍动态规划的做法，复杂度为O(n)，读者会发现其实左端点的枚举是没有必要的。

1. 步骤一：令状态dp[i]表示以A[i]作为末尾的连续序列的最大和（这里是说A[i]必须作为连续序列的末尾）。以样例为例：序列-2 11 -4 13 -5 -2,下标分别记为 0,1,2,3,4,5,那么

   dp[0] = -2,
   dp[1] = 11,
   dp[2] = 7 (11 + (-4)),
   dp[3] = 20 (11 + (-4) + 13)
   dp[4] = 15
   dp[5] = 13 (11 + (-4) + 13 + (-5) + (-2))
   

   通过设置这么一个dp数组，要求的最大和其实就是dp[0],dp[1],…,dp[n-1]中的最大值（因为到底以哪个元素结尾未知），下面想办法求解dp数组。

2. 步骤二：作如下考虑：因为dp[i]要求是必须以A[i]结尾的连续序列，那么只有两种情况：

   1. 这个最大和的连续序列只有一个元素，即以A[i]开始，以A[i]结尾。

   2. 这个最大和的连续序列有多个元素，即从前面某处A[p]开始(p < i),一直到A[i]结尾。对第一种情况，最大和就是A[i]本身。

      对第二种情况，最大和就是dp[i-1]+A[i]

      由于只有这两种情况，于是得到状态转移方程：

      dp[i] = max{A[i],dp[i-1]+A[i]}

3. 代码如下

   #include 
   #include 
   #include 
   
   using namespace std;
   const int maxn = 10010;
   int A[maxn],dp[maxn];	// A[i]存放序列，dp[i]存放以A[i]结尾的连续序列的最大和
   int main(){
       int n;
       scanf("%d",&n);
       for(int i = 0 ; i < n ; i++){
           scanf("%d",&A[i]);
       }
       // 边界
       dp[0] = A[0];
       for(int i = 1 ; i < n ; i++){
           // 状态转移方程
           dp[i] = max(A[i],dp[i-1]+A[i]);
       }
       int k = 0;
       for(int i = 1 ; i < n ; i++){
           if(dp[i] > dp[k]){
               k = i;
           }
       }
       printf("%d\n",dp[k]);
       return 0;
   }
   

4. 状态的无后效性

状态的无后效性是指：当前状态记录了历史信息，一旦当前状态确定，就不会再改变，且未来的决策只能在已有的一个或若干个状态的基础上进行，历史信息只能通过已有的状态去影响未来的决策。

对动态规划可解的问题来说，总会有很多设计状态的方式，但并不是所有状态都具有无后效性，因此必须设计一个拥有无后效性的状态以及相应的状态转移方程，否则动态规划就没有办法得到正确结果。事实上，如何设计状态和状态转移方程，才是动态规划的核心，而它们也是动态规划最难的地方。