C语言：平衡二叉树汇总

定义：

平衡二叉树（Balanced Binary Tree），这个性质，在数据结构的发展中出现了几种平衡二叉树。

均具有以下性质：

它是一 棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1，并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树。

构造与调整方法 平衡二叉树的常用算法有红黑树、AVL、Treap等。

最小二叉平衡树的节点的公式如下 F(n)=F(n-1)+F(n-2)+1 这个类似于一个递归的数列，

可以参考Fibonacci数列，1是根节点，F(n-1)是左子树的节点数量，

F(n-2)是右子树的节点数量

一般的二叉搜索树（Binary Search Tree），其期望高度（即为一棵平衡树时）为log2n，

其各操作的时间复杂度（O(log2n)）同时也由此而决定。

但是，在某些极端的情况下（如在插入的序列是有序的时），二叉搜索树将退化成近似链或链，

此时，其操作的时间复杂度将退化成线性的，即O(n)。

我们可以通过随机的建立二叉搜索树来尽量的避免这种情况，但是在进行了多次的操作之后，

由于在删除时，

我们总是选择将待删除节点的后继代替它本身，这样就会造成总是右边的节点数目减少，

以至于树向左偏沉。这同时也会造成树的平衡性受到破坏，

提高它的操作的时间复杂的。

分类：

目前几种被使用的较为广泛的是：

红黑树

红黑树是一种自平衡二叉查找树，是在计算机科学中用到的一种数据结构，典型的用途是实现关联数组。

它是在1972年由Rudolf Bayer发明的，他称之为"对称二叉B树"，它现代的名字是在 Leo J. Guibas 和

Robert Sedgewick 于1978年写的一篇论文中获得的。它是复杂的，但它的操作有着良好的最坏情况运行时间，

并且在实践中是高效的: 它可以在O(log n)时间内做查找，插入和删除，这里的n是树中元素的数目。

AVL树

AVL是最先发明的自平衡二叉查找树算法。在AVL中任何节点的两个儿子子树的高度最大差别为一，

所以它也被称为高度平衡树，n个结点的AVL树最大深度约1.44log2n。查找、插入和删除在平均和

最坏情况下都是O（log n）。增加和删除可能需要通过一次或多次树旋转来重新平衡这个树。

Treap

Treap是一棵二叉排序树，它的左子树和右子树分别是一个Treap，和一般的二叉排序树不同的是，

Treap纪录一个额外的数据，就是优先级。Treap在以关键码构成二叉排序树的同时，还满足堆

的性质(在这里我们假设节点的优先级大于该节点的孩子的优先级)。但是这里要注意的是Treap和

二叉堆有一点不同，就是二叉堆必须是完全二叉树，而Treap并不一定是。

伸展树

伸展树（Splay Tree）是一种二叉排序树，它能在O(log n)内完成插入、查找和删除操作。

它由Daniel Sleator和Robert Tarjan创造。它的优势在于不需要记录用于平衡树的冗余信息。

在伸展树上的一般操作都基于伸展操作。

SBT

Size Balanced Tree（简称SBT）是一自平衡二叉查找树，是在计算机科学中用到的一种数据结构。

它是由中国广东中山纪念中学的陈启峰发明的。陈启峰于2006年底完成论文《Size Balanced Tree》，

并在2007年的全国青少年信息学奥林匹克竞赛冬令营中发表。由于SBT的拼写很容易找到中文谐音，

它常被中国的信息学竞赛选手ACM选手们戏称为“傻B树”、“Super BT”等。相比红黑树、

AVL树等自平衡二叉查找树，SBT更易于实现。据陈启峰在论文中称，SBT是“目前为止速度最快的

高级二叉搜索树”。SBT能在O(log n)的时间内完成所有二叉搜索树（BST）的相关操作，

而与普通二叉搜索树相比，SBT仅仅加入了简洁的核心操作Maintain。由于SBT赖以保持平衡的是size域

而不是其他“无用”的域，它可以很方便地实现动态顺序统计中的select和rank操作。

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