张量及其标记法

1. 张量标记法

根据下式理解：

注：图片出处：自由指标（百度百科）

主要理解：

哑指标：同项中出现两次的指标；（爱因斯坦求和约定）

自由指标：同项中不重复出现的指标；

注：X1Y12+X2Y12是两项，同项指X1Y12。上式中J在同项中初选两次，因此为哑指标，同理i为自由指标！

 

2. 张量（tensor）

张量可以认为是“基向量（basis vector）”和“分量（component）”的组合。

**** 张量最重要的性质是：张量不随坐标系的变化而变换。（坐标变换，基向量改变，相应的分量也会变换，但作为两者组合的张量保持不变）

标量（scalar）可以认为是0阶张量；1个向量可以用1阶张量（基坐标+3个分量）表示；2个向量的组合需要用2阶张量（基坐标+9个分量）表示；n个向量组合用n阶张量（基坐标+3^n个分量）表示。

 

3. 弹性力学中微六面体应力分布，2阶张量表示（默认在笛卡尔坐标系下）：

注：图片出处：tensor (wikipedia)

图中 T(e1), T(e2) ，T(e3)为正六面体三个正面上的应力；e1，e2，e3为基向量；δ12下标解释：第一个下标为外法向方向，第二个小标为应力作用方向！

利用张量标记法，各面上应力可以表示为：

T(ei)=δij ei

T(e1)=δ11 e1+δ12 e2+δ13 e3

T(e2)=δ21 e1+δ22 e2+δ23 e3

T(e3)=δ31 e1+δ32 e2+δ33 e3

其中：i为自由指标，j为哑指标。

 

【小知识】爱因斯坦广义相对论就是用张量进行描述的！