WIMP

简介

WIMP是弱相互作用大质量粒子(Weakly Interacting Massive Particle)的简称，它是目前最流行、最被看好的暗物质粒子候选者，也是宇宙学模型中的冷暗物质成分，具有稳定性、电磁中性、色中性和非相对论性。它的质量量级被估计在左右，而目前的粒子加速器仍没有能力达到这个能量尺度。

早期宇宙与WIMP热遗迹

尽管目前加速器对产生WIMP还无能为力，但是宇宙作为一个天然的巨型实验室，(根据大爆炸宇宙学模型)在早期是有足够高的能量来产生WIMPs。随着宇宙的膨胀降温，这个产生过程一直持续到温度能标低于WIMP的质量的时刻。由于暗物质一直存在至今，说明它在宇宙中是很稳定的（最轻的暗物质粒子没有进一步衰变成标准模型粒子），因而唯一能让它数量发生改变的过程就是暗物质粒子相互湮灭（当然这里已经假设WIMPs彼此之间可以发生湮灭）湮灭事例率与湮灭截面(pair annihilation cross-section)，相对运动速率和WIMP数密度相关: （假设在宇宙原初热浴时期WIMP与整个体系是热平衡的）这个湮灭过程会带来粒子数密度的变化，而描绘这个粒子数密度非平衡态过程的Boltzmann方程为其中是宇宙尺度因子，上角标表示热平衡时的值，有的文献(例如[2])中也会将Boltzmann方程写成其中为Hubble常数。显见这两个表达式是完全等价的。

随着(早期)宇宙的继续膨胀，可以由上式看出在不断变小，使得WIMP湮灭过程越来越难以进行，换言之暗物质粒子碰撞几率持续下降。直至当湮灭事例率达到宇宙膨胀速率水平的时候()，碰撞几率为，这个过程被“冻结”了(thermal freeze-out)而产生了所谓热遗迹(thermal relic)，这之后WIMP的共动数密度(yield, or comoving number density)就近似为常数值了，暗物质粒子从其他粒子组分中退耦，此时的温度称为冻结温度。根据热力学，热平衡下各种类粒子数密度，能量密度和熵密度为：由于暗物质是的非相对论性而且散射截面不是很大，所以整个退耦过程仍处在宇宙早期，而早期宇宙以辐射为主导，其物态方程为我们得到早期宇宙的主要物理参量
其中称为有效零质量自由度（我们的推导中用到了零质量(相对论性)和零化学势的条件）：考虑到相对论粒子为光子和三种中微子，，，热平衡时有，因此。
随着宇宙能量密度降低，物质开始进入非相对论状态，引入变量，在退耦时刻之后的WIMP平衡态数密度为(采用Maxwell-Boltzmann分布近似)：可以发现，对于粒子，当时平衡态粒子数密度；当时平衡态粒子数密度。平衡态时共动数密度(设WIMP) 考虑到熵守恒假设，并且将变元转换为，前述Boltzmann方程化为) 其中、与的依赖关系为代入Boltzmann方程中，

参考文献

[1] H. Murayama, Physics beyond the standard model and dark matter, arXiv: 0704.2276.
[2] G. Arcadi et al., The Waning of the WIMP? A review of models, searches, and constraints, arXiv: 1703.07364

附录（数学推导）

本节推导中均采用自然单位制，即，这些物理符号依次为角普朗克常数、光速和Boltzmann常数。

只需要证明两个式子左边相等，导数展开即可。 $\small{\frac{1}{a^3}\frac{\text{d}(n_\chi a^3)}{\text{d}t} = \frac{1}{a^3}(\dot{n}_\chi a^3 + 3n_\chi a^2 \dot{a}) = \dot{n}_\chi + 3n_\chi \frac{\dot{a}}{a} = \frac{\text{d}n_\chi}{\text{d}t}} + 3Hn_\chi$ 最后一步用到了Hubble常数的定义。
假设宇宙在膨胀过程中总熵守恒，则粒子数密度与熵密度都在随膨胀而有一个因子的变化（一般称为共动体积），因而它们的比值为常数，之所以说近似，是考虑到由于热运动而造成的局域密度变化。
(1) 不确定关系给出粒子的坐标不确定度与其共轭动量的不确定度满足关系。自由度为的粒子的相格大小(由、描述的粒子运动状态，即相体积)为。因此三维自由粒子（这里已经假设暗物质退耦阶段的早期宇宙空间是三维的）在相体积中的量子态数为，而数密度则为。（三维相格大小为，并且由于物理规律在空间中的平移旋转不变性，直接积分得到坐标体积）。在自然单位制之下，于是我们得到了积分元。
(2) 注意到就是能量密度，
（几乎是从第一性原理出发）分别计算和，对于辐射(光子气体)，服从Bose-Einstein分布，由于黑体不断辐射和吸收光子，光子数是不守恒的（也就是说能量守恒但数目不守恒，平衡态下光子的化学势为）所以光子气体的统计分布为：光子的自旋量子数为，自旋在动量方向上可以取两种可能值(相当于左右圆偏振)，即，在体积，动量到范围内，光子量子态数目为而且，即，平均光子数为辐射场内部能量(Planck公式)为 $\small{U(\omega, T)\text{d}\omega = \Big( \hbar\omega\cdot \text{d}n(\omega, T) = \frac{V}{\pi^2}\frac{\hbar\omega^3\text{d}\omega}{e^{\frac{\omega}{T}}-1} = \Big) \frac{V}{\pi^2}\frac{\omega^3\text{d}\omega}{e^{\frac{\omega}{T}}-1}}$ 因此
以上，我们通过分析方法求得了辐射内能密度，下面我们将通过系综的方法重新得到这一结果，并且得到压强的表达式。
光子气体的巨配分函数的对数为（引入变量）： $\small{\ln{\Xi} = -\frac{V}{8\pi^3}\int 2\ln{(1-e^{-\frac{\omega}{T}})}\text{d}^3\vec{\omega} = -\frac{V}{\pi^2}\int_0^{\infty}\omega^2\ln{(1-e^{-\frac{\omega}{T}})\text{d}\omega} \\ \quad\ \ = -\frac{VT^3}{\pi^2}\int_0^{\infty}x^2\ln{(1-e^{-x})}\text{d}x = \frac{VT^3}{3\pi^2}\int_0^\infty\frac{x^3\text{d}x}{e^x-1} = \frac{\pi^2}{45}VT^3}$ 从而(这里) 比较以上两式立得。
推导过程中用到了如下积分事实： $\small{-\int_0^{\infty}x^2\ln{(1-e^{-x})}\text{d}x = -( [\frac{x^3}{3}\ln{(1-e^{-x})}]_0^{\infty} - \frac{1}{3}\int_0^\infty\frac{x^3\text{d}x}{e^x-1}) \\ \quad= \frac{1}{3}\int_0^\infty\frac{x^3\text{d}x}{e^x-1}=\frac{1}{3}I(3)=\frac{\pi^4}{45}}$ 是数学分析中的一个经典结果，其中是Riemann函数。
上面一条附录给出了零质量Boson的计算结果，这里讲Fermion的情况一并总结出来（与Boson唯一的区别是将分布函数替换成Fermion的）：
(1)
(2) 如果不采取近似，那么（正号为Fermion，符号为Boson） $\small{n_\chi^0 = \int\frac{\text{d}^3\vec{p}}{(2\pi)^3}f(\vec{p}) = \frac{4\pi g_*}{(2\pi)^3}\int_0^\infty \frac{p^2\text{d}p}{e^{\frac{E-\mu}{T}}\pm1} = \frac{g_*}{2\pi^2}\int_0^\infty \frac{p^2\text{d}p}{e^{\frac{\sqrt{m^2+p^2}-\mu}{T}}\pm1}}$ 将是一个比较难处理的积分。
设物态方程具有形式，对于热物质(相对论性物质，如辐射)。一方面，由Friedmann方程导出式，另一方面，我们从黑体辐射公式又知道于是得到还是回到Friedmann方程(这里使用第二方程)，既然我们说宇宙早期辐射主导(同时研究对象取为的Einstein-de Sitter宇宙，反正辐射绝对主导)，那么能量密度（事实上上面的推导我们已经采用这一近似，且，注意尽管但严格大于），从而 $\small{\Rightarrow |a\dot{a}| = \Omega_r^{\frac{1}{2}} H_0 a_0^2 \ \ \text{or} \ \ a\text{d}a = \Omega_r^{\frac{1}{2}} H_0 a_0^2\text{d}t \quad \Rightarrow a^2 \propto t \ \ \text{or} \ \ a \propto t^{\frac{1}{2}}}$ 其中和为现在的Hubble常数和尺度因子，为现在的辐射密度参数。终于，我们导出了早期宇宙(非暴胀时期)温度与时间的关系：上式最后一个等号是由于并且我们可以得到这里，把这个关系应用到我们需要的共动数密度导数上， $\small{\frac{\text{d}Y_\chi}{\text{d}x} = \frac{\text{d}t}{\text{d}x}\frac{\text{d}Y_\chi}{\text{d}t} = \frac{1}{xH(T)}\cdot\frac{1}{s}\Big(\frac{\text{d}n_\chi}{\text{d}t} - Y_\chi\frac{\text{d}s}{\text{d}t}\Big) }$ 这里括号中第一项将直接代入关于的Boltzmann方程，第二项基于熵守恒从而 $\small{\frac{\text{d}Y_\chi}{\text{d}x} = \frac{1}{xHs}(-3Hn_\chi + \langle\sigma_{ann}v\rangle[(n^0_{\chi})^2 - (n_{\chi})^2] - Y_\chi(-3Hs)) \\ \quad\ \ \ = \frac{s}{xH}\langle\sigma_{ann}v\rangle[(Y^0_{\chi})^2 - (Y_{\chi})^2]}$

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