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论文笔记（二）补充知识之张量Tensor

最近看的一篇paper需要的背景知识（可能略有删改）

目录

1.张量简介

2.张量的定义与运算

2.1 张量(Tensor)

2.2 纤维(Fibre)

2.3 切片(Slice)

2.4 内积(Inner product)

2.5 矩阵展开(Unfolding-Matricization)

2.6 外积(Outer Product)

2.7 Kronecker乘积(Kronecker Product)

2.8 Hadamard乘积(Hadamard Product)

2.9 Khatri-Rao乘积(Khatri-Rao Product)

2.10 张量与矩阵的模积(Mode-n Product)

2.11 张量与向量的模积(Mode-n Product)

3.参考资料

1.张量简介

张量(tensor)是一个多维的数据存储形式，数据的的维度被称为张量的阶，可以看成是向量和矩阵在多维空间中的推广。

向量可以看成是一维张量,矩阵可以看成是两维张量。

下面是一个三阶张量的例子，它有三维即3个mode。

值得注意的是这里说的张量是一个具有某种排列形式的数据的集合，它和物理中的张量场是不同的。

传统的方法（例如ICA,PCA、SVD和NMF）对于维数比较高的数据，一般将数据展成二维的数据形式（矩阵）进行处理，这种处理方式使得数据的结构信息丢失(比如说图像的邻域信息丢失),使得求解往往病态。而采用张量对数据进行存储，能够保留数据的结构信息，因此近些年在图像处理以及计算机视觉等领域得到了一些广泛的应用。张量分解中常见的两种分解是CP分解(Canonical Polyadic Decomposition (CPD)和Tucker分解(Tucker Decomposition)。下面将重点介绍这两种分解，并且将他们在图像处理中的一些应用进行阐述。

2.张量的定义与运算

2.1 张量(Tensor)

一个N阶 $I_{1}\times I_{2}\times... \times I_{N}$ 维的张量可以表示为 $Y\in R^{I_{1}\times I_{2}\times...\times I_{N}}$ 张量中的每一个元素可以由 $y_{i_1i_2...i_n}$ 表示,其中( $i_n \in {1,2,...,I_n}$ )。

2.2 纤维(Fibre)

纤维是指从张量中抽取向量的操作。在矩阵中固定其中一个维度，可以得到行或者列。类似于矩阵操作，固定其它维度，只保留一个维度变化，可以得到有纤维的概念。比如说我们对上图中的三阶张量分别按照I,J,K 三个mode进行Fiber操作可以得到如图所示的 $x_{:jk}$ , $x_{i:k}$ , $x_{ij:}$ 三个维度的纤维。

2.3 切片(Slice)

切片操作是指在张量中抽取矩阵的操作。在张量中如果保留两个维度变化，其它的维度变化可以得到一个矩阵，这个矩阵即为张量的切片。对图中的张量分别按照I,J,K三个方向进行操作可以得到如下图所示的 $x_{i::}$ , $x_{:j:}$ , $x_{::k}$ 三个维度的切片。

2.4 内积(Inner product)

两个大小相同的张量 $X,Y\in R^{I_{1}\times I_{2}\times...\times I_{N}}$

定义为张量中相对应的元素的乘积之和形式，即:

$\langle X,Y \rangle =\sum \limits_{i_1=1}^{I_1}\sum \limits_{i_2=1}^{I_2}...\sum \limits_{i_N=1}^{I_N}x_{i_1i_2...i_N}y_{i_1i_2...i_N}$

相应张量 $X\in R^{I_{1}\times I_{2}\times...\times I_{N}}$

的范数定义为:

$\|X\| =\sqrt{\sum \limits_{i_1=1}^{I_1}\sum \limits_{i_2=1}^{I_2}...\sum \limits_{i_N=1}^{I_N}x_{i_1i_2...i_N}^{2}}$

即所有元素的平方和的平方根。

2.5 矩阵展开(Unfolding-Matricization)

张量的矩阵展开是将一个张量的元素重新排列(即对张量的mode-n的纤维进行重新排列)，得到一个矩阵的过程，张量 $X\in R^{I_{1}\times I_{2}\times...\times I_{N}}$

在第n维度上展开矩阵表示为 $X_{(n)}\in R^{I_n\times(I_{1}\times I_{2}\times...I_{n-1}I_{n+1}...\times I_{N})}$

。对一个三阶张量按照I,J,K三个方向进行矩阵展开得到的矩阵如下图

2.6 外积(Outer Product)

定义张量 $X\in R^{I_{1}\times I_{2}\times...\times I_{N}}$

和张量 $Y\in R^{J_{1}\times J_{2}\times...\times J_{M}}$ 的外积为:

$Z=X\circ Y \in R^{I_{1}\times I_{2}\times...\times I_{N}\times J_{1}\times J_{2}\times...\times J_{M}}$

其中: $z_{i_1,i_2,...,i_N,j_1,j_2,...,j_M}=x_{i_1,i_2,...,i_N}*y_{j_1,j_2,...,j_M}$ 即张量Z 是张量X和张量Y 中的每一个元素的乘积构成的。特别地如果X 和Y 分别是一个向量那么他们的外积是一个秩为1的矩阵，如果X 和Y和Z

分别是一个向量，那么他们的外积是一个秩为1三阶张量。

2.7 Kronecker乘积(Kronecker Product)

Kronecker乘积定义在两个矩阵 ${\mathbf{A}} \in {\mathbb{R}^{I{\mathbf{ \times }}J}},{\mathbf{B}} \in {\mathbb{R}^{K{\mathbf{ \times }}L}}$ 上的运算:

2.8 Hadamard乘积(Hadamard Product)

Hadamard 乘积定义在两个相同大小的矩阵 ${\mathbf{A}} \in {\mathbb{R}^{I{\mathbf{ \times }}J}},{\mathbf{B}} \in {\mathbb{R}^{I{\mathbf{ \times }}J}}$

上的运算:

2.9 Khatri-Rao乘积(Khatri-Rao Product)

Khatri-Rao乘积定义了两个相同列数的矩阵 ${\mathbf{A}} \in {\mathbb{R}^{I{\mathbf{ \times }}K}},{\mathbf{B}} \in {\mathbb{R}^{J{\mathbf{ \times }}K}}$

上的操作,它的过程如下图所示。 ${\mathbf{A}} \odot {\mathbf{B}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{\mathbf{a}}_1} \otimes {{\mathbf{b}}_1}}&{{{\mathbf{a}}_2} \otimes {{\mathbf{b}}_2}}& \cdots &{{{\mathbf{a}}_K} \otimes {{\mathbf{b}}_K}}\end{array}} \right]\in {\mathbb{R}^{IJ{\mathbf{ \times }}K}}$

2.10 张量与矩阵的模积(Mode-n Product)

张量与矩阵的模积定义了一个张量 $X\in {\mathbb{R}^{{I_1}{\mathbf{ \times }}{I_2}{\mathbf{ \times }} \cdots {\mathbf{ \times }}{I_N}}}$

和一个矩阵 ${\mathbf{U}} \in {\mathbb{R}^{J{\mathbf{ \times }}{I_n}}}$ 的n-mode乘积 $\left( {X{ \times_n}{\mathbf{U}}} \right) \in {\mathbb{R}^{{I_1}{\mathbf{ \times }} \cdots {\mathbf{ \times }}{I_{n - 1}}{\mathbf{ \times }}J{\mathbf{ \times }}{I_{n + 1}}{\mathbf{ \times }} \cdots {\mathbf{ \times }}{I_N}}}$ ，其元素定义为

${\left( {X{ \times_n}{\mathbf{U}}} \right)_{{i_1} \cdots {i_{n - 1}}j{i_{n + 1}} \cdots {i_N}}} = \sum\limits_{{i_n} = 1}^{{I_n}} {{x_{{i_1}{i_2} \cdots {i_N}}}{u_{j{i_n}}}}$

这个定义可以写成沿mode-n展开的形式为： $Y =X{ \times_n}{\mathbf{U}} \Leftrightarrow {{\mathbf{Y}}_{(n)}} = {\mathbf{U}}{{\mathbf{X}}_{(n)}}$ 如果 $J<I_{n}$

那么张量和矩阵的乘积可以看作是一个降维的过程，它把一个高维度的张量映射到一个低维度的张量空间。图???演示了一个张量 $G\in R^{7\times5\times 8}$ 和一个矩阵 $A\in R^{4\times 7}$ 的乘积最终得到张量 $Y\in R^{4\times 5 \times 8}$

,张量的第一个维度由7变成了4。

2.11 张量与向量的模积(Mode-n Product)

张量与向量的模积定义了一个张量 $X \in {\mathbb{R}^{{I_1}{\mathbf{ \times }}{I_2}{\mathbf{ \times }} \cdots {\mathbf{ \times }}{I_N}}}$

与向量 ${\mathbf{v}} \in {\mathbb{R}^{{I_n}}}$

的运算为: ${\left( {X{{\bar \times }_n}{\mathbf{v}}} \right)_{{i_1} \cdots {i_{n - 1}}{i_{n + 1}} \cdots {i_N}}} = \sum\limits_{{i_n} = 1}^{{I_n}} {{x_{{i_1}{i_2} \cdots {i_N}}}{v_{{i_n}}}}$ 一个向量和一个张量进行模乘可以减少张量的阶数，下图演示了一个张量的阶数由3阶变为0阶的过程。

3.参考资料

http://www.xiongfuli.com/%E6%9C%BA%E5%99%A8%E5%AD%A6%E4%B9%A0/2016-06/tensor-decomposition-part1.html

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什么是Akka Message-Driven Runtime is the Foundation to Reactive Applications In Akka, your business logic is driven through message-based communication patterns that are independent of physical locatio
zabbix_api之perl语言写法 ronin47 zabbix_api之perl
zabbix_api网上比较多的写法是python或curl。上次我用java－－http://bossr.iteye.com/blog/2195679，这次用perl。for example: #!/usr/bin/perl use 5.010 ; use strict ; use warnings ; use JSON :: RPC :: Client ; use
比优衣库跟牛掰的视频流出了，兄弟连Linux运维工程师课堂实录，更加刺激，更加实在！ brotherlamp linux运维工程师 linux运维工程师教程 linux运维工程师视频 linux运维工程师资料 linux运维工程师自学
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bitmap求哈密顿距离-给定N（1<=N<=100000）个五维的点A(x1,x2,x3,x4,x5)，求两个点X(x1,x2,x3,x4,x5)和Y( bylijinnan java
import java.util.Random; /** * 题目： * 给定N（1<=N<=100000）个五维的点A(x1,x2,x3,x4,x5)，求两个点X(x1,x2,x3,x4,x5)和Y(y1,y2,y3,y4,y5)， * 使得他们的哈密顿距离（d=|x1-y1| + |x2-y2| + |x3-y3| + |x4-y4| + |x5-y5|）最大
map的三种遍历方法 chicony map
package com.test; import java.util.Collection; import java.util.HashMap; import java.util.Iterator; import java.util.Map; import java.util.Set; public class TestMap { public static v
Linux安装mysql的一些坑 chenchao051 linux
1、mysql不建议在root用户下运行 2、出现服务启动不了，111错误，注意要用chown来赋予权限，我在root用户下装的mysql，我就把usr/share/mysql/mysql.server复制到/etc/init.d/mysqld, (同时把my-huge.cnf复制/etc/my.cnf) chown -R cc /etc/init.d/mysql
Sublime Text 3 配置 daizj 配置 Sublime Text
Sublime Text 3 配置解释(默认){// 设置主题文件“color_scheme”: “Packages/Color Scheme – Default/Monokai.tmTheme”,// 设置字体和大小“font_face”: “Consolas”,“font_size”: 12,// 字体选项：no_bold不显示粗体字，no_italic不显示斜体字，no_antialias和
MySQL server has gone away 问题的解决方法 dcj3sjt126com SQL Server
MySQL server has gone away 问题解决方法，需要的朋友可以参考下。应用程序（比如PHP）长时间的执行批量的MYSQL语句。执行一个SQL，但SQL语句过大或者语句中含有BLOB或者longblob字段。比如，图片数据的处理。都容易引起MySQL server has gone away。今天遇到类似的情景，MySQL只是冷冷的说：MySQL server h
javascript/dom:固定居中效果 dcj3sjt126com JavaScript
<!DOCTYPE html PUBLIC "-//W3C//DTD XHTML 1.0 Transitional//EN" "http://www.w3.org/TR/xhtml1/DTD/xhtml1-transitional.dtd"> <html xmlns="http://www.w3.org/1999/xhtml&
使用 Spring 2.5 注释驱动的 IoC 功能 e200702084 spring bean 配置管理 IOC Office
使用 Spring 2.5 注释驱动的 IoC 功能 developerWorks 文档选项将打印机的版面设置成横向打印模式打印本页将此页作为电子邮件发送将此页作为电子邮件发送级别：初级陈雄华 ([email protected]), 技术总监, 宝宝淘网络科技有限公司 2008 年 2 月 28 日 &nb
MongoDB常用操作命令 geeksun mongodb
1. 基本操作 db.AddUser(username,password) 添加用户 db.auth(usrename,password) 设置数据库连接验证 db.cloneDataBase(fromhost)
php写守护进程（Daemon） hongtoushizi PHP
转载自： http://blog.csdn.net/tengzhaorong/article/details/9764655 守护进程（Daemon）是运行在后台的一种特殊进程。它独立于控制终端并且周期性地执行某种任务或等待处理某些发生的事件。守护进程是一种很有用的进程。php也可以实现守护进程的功能。 1、基本概念 &nbs
spring整合mybatis,关于注入Dao对象出错问题 jonsvien DAO spring bean mybatis prototype
今天在公司测试功能时发现一问题：先进行代码说明： 1，controller配置了Scope="prototype"（表明每一次请求都是原子型） @resource/@autowired service对象都可以（两种注解都可以）。 2，service 配置了Scope="prototype"（表明每一次请求都是原子型）
对象关系行为模式之标识映射 home198979 PHP 架构企业应用对象关系标识映射
HELLO!架构一、概念 identity Map:通过在映射中保存每个已经加载的对象，确保每个对象只加载一次，当要访问对象的时候，通过映射来查找它们。其实在数据源架构模式之数据映射器代码中有提及到标识映射，Mapper类的getFromMap方法就是实现标识映射的实现。二、为什么要使用标识映射？在数据源架构模式之数据映射器中 //c
Linux下hosts文件详解 pda158 linux
　1、主机名：　　无论在局域网还是INTERNET上，每台主机都有一个IP地址，是为了区分此台主机和彼台主机，也就是说IP地址就是主机的门牌号。　　公网：IP地址不方便记忆，所以又有了域名。域名只是在公网（INtERNET)中存在，每个域名都对应一个IP地址，但一个IP地址可有对应多个域名。　　局域网：每台机器都有一个主机名，用于主机与主机之间的便于区分，就可以为每台机器设置主机
nginx配置文件粗解 spjich java nginx
#运行用户#user nobody;#启动进程,通常设置成和cpu的数量相等worker_processes 2;#全局错误日志及PID文件#error_log logs/error.log;#error_log logs/error.log notice;#error_log logs/error.log inf
数学函数 w54653520 java
public class S { // 传入两个整数，进行比较，返回两个数中的最大值的方法。 public int get( int num1, int nu

按字母分类： A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z 其他