计量经济学 学习笔记-1 一元线性回归

• 主要名词 和解释

拟合优度

也就是可决系数 R2
y(i) = Yi - Y-
=e(i)  是样本离差。
 有三个y
 Y-   均值
 Yi^  第i个样板的回归预测值
 Yi   第i个样本的真实值

总体平方和total sum of squares

    Y 均值 与 Y 预测值 的总平方和

残差平方和Residual sum of squares

    Y 预测值 与 Y 样本值 的平方和（回归方程不能解释部分）^

回归平方和explained sum of squares

    Y 预测值 与 样本值 的平方和 （回归方程能解释部分）

可决系数

    回归平方和 ／ y的总离差

显著性检验

 例如 对x前面因子进行检验。
 一元线性回归方程中 beta1 服从 正态分布
 beta1^ ～N（beta1 ,lo^2/sigma（xi^2））
 lo^2 = sigma(ei^2/（n-2）)

t = (beta1^ - beta)/sqrt(lo2/sigma xi2)服从 ~t(n-2)
计量经济学中 主要是针对变量的参数真值是否为0来做显著性检测的。
–(1)对总体提出假设
H0: beta1 = 0 , H1 : beta!= 0
–(2)以原假设H0 构造t统计量，并由样本计算其值，
t = beta1^/ Sbeta1^
–(3)给定显著性水平alpha，查t分布表，使得临界值ta/2（n-2）
–（4） 比较判断
若 |t| > ta/2(n-2) 则拒绝H0，接受H1；
若 |t| <= ta/2（n-2） 则拒绝H1，接受H0；

缩小置信区间

    增大样本容量 t分布中 n越大，临界值越小。
    提高模型的拟合优度。残差平方和越小越好。

关于 给定样本外的解释变量的观测值X0，

可以得到被解释变量的预测值Y0，可以以此作为其条件均值，E(Y\X=X0)，或者个别值Y0的一个近似估计。原因：
1、参数估计量不确定。
2、随机项的影响。

估计参数的confidence band

总体回归模型中加入一个随机变量
Y0 = beta0 + beta1X0 + u
Y0^ 是 Y0的无偏估计。
最后可以得到关于预测值95%的置信区间。 （有人为统计 与机器学习的区别，，机器学习更加关注应用，从宏观层面判断所有样本的整体表现，如准确率，召回率。但是 统计学习更加关注学习分类过程中过的原理本身，比如，预测的Y值是否合理，不合理，应该加上一个置信区间，这是属于统计机器学习的范畴。）
这里我们会有相当于机器学习后面的新的概念，总体回归函数的置信带，个体的置信带。

置信区间的性质

1、样本容量越大，预测精度越高，反之预测精度越低。
2、样本容量一定的时候，在X均值处，置信带宽最小，预测精度越大。
                    远离X均值处，置信带宽越宽，预测可信度下降。 

线性回归常用术语：
点估计、预测值，预测区间，相对误差。

矩方法是工具变量法和广义矩方法的基础

矩方法 ： E（X‘u） = 0
工具变量法：如果某个变量与随机项相关，如果可以找到一个工具变量，仍可以构成矩条件。instrumental variables
广义矩方法：generalized moments methods