黎曼猜想（二）全体自然数之和等于-1/12和解析延拓

全体自然数之和等于$-\frac{1}{12}$

有人一定听说过全体自然数之和等于$-\frac{1}{12}$，那我们这期就来聊聊这究竟是为什么呢？这个结果又和什么有关系呢？

之前我们说过这样的一个式子：
$$\epsilon (s)=1+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{4^s}+\frac{1}{5^s}+\frac{1}{6^s}+...$$

当s = 1时；
$$\epsilon (1)=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+...$$

这是调和级数，是发散的。

当s = 2时；
$$\epsilon (2)=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{6^2}+...$$

这就是巴塞尔问题，答案是$\frac{{\pi }^2}{6}$。

但是当s < 1时，答案又是什么呢？

欧拉给出了这么几个答案：

$$\begin{gathered} \epsilon (-1)=1+2+3+4+5...=-\frac{1}{12} \\ \epsilon (-2)=0 \\ \epsilon (-3)=-\frac{1}{120} \end{gathered}$$

是不是很神奇，那让我们看一下欧拉的证明方法。

欧拉把这个函数$\frac{x}{(1-x{)}^2}$幂级数展开得：
$$\frac{x}{(1-x{)}^2}=x+2x^2+3x^3+4x^4+....$$

令x = -1得：
$$-\frac{1}{4}=-1+2-3+4-.....$$
$$-\frac{1}{4}=-(1+3+5+...)+(2+4+6+...)$$
$$-\frac{1}{4}=-(1+2+3+4+..)+(2\ast 2+4\ast 2+6\ast 2+...)$$
$$-\frac{1}{4}=3\ast (1+2+3+4+....)$$
$$1+2+3+4+...=-\frac{1}{12}$$

这只是欧拉的证明方法，还有很多其他版本的证明方法后续再补充。

（全体自然数之和在数学家的眼里是错误的，但是在物理学家的眼里那就不一定错误了。）

到了这里，为什么全体自然数之和等于$-\frac{1}{12}$，在上一期说过，s在这个欧拉级数里必须是大于1才有意义，当s = -1的时候是无意义的，那么怎么会出现这个这个结果，答案就是解析延拓。

解析延拓

定义

解析：如果一个函数$f(x)$在某一点a处可导，并且在a的领域也处处可导，即这个函数$f(x)$在a点是解析的，如果$f(x)$在区域D内的任意一点都是解析的，那么$f(x)$在区域D内是解析的。

通俗的来说，解析延拓就是将一个函数$f(x)$的定义域“扩大”，但这个“扩大”不是随意扩大，解析延拓是唯一的，条件就是$f(x)$是在一个区域内是处处可导的，那么就可以将这个区域扩大到全局，也就是局部函数->全局函数，而且也是处处可导的。处处可导是什么意思呢？就是处处是光滑。

那我们来举个栗子。

栗子

我们一定看过这样的一个数列：
$$1+x+x^2+x^3+....$$

用等比数列求和可得(-1 < x < 1)：

$$1+x+x^2+x^3+....=\frac{1}{1-x}$$

那我们先把这个函数用图像画出来，当-1 < x < 1时，左边是严格等于右边的，所以图像是：

左边的数列只有在-1

这样我们就把左边的数列进行了解析延拓，扩大了定义域，但是上图除了-1 当$x=\frac{1}{2}$时：
$$1+\frac{1}{2}+(\frac{1}{2}{)}^2+(\frac{1}{2}{)}^3+....=2$$
这是完全正确的。
当$x=-1$时：
$$1+-1+1-1+....=\frac{1}{2}$$

这个式子对不对自己细品。。。
对于左边x = -1是没有意义的，但是对于解析延拓出来的右边函数是具有意义的。

所以说，全体自然数之和等于$-\frac{1}{12}$是解析延拓出来的结果，是错误的。

那么欧拉级数解析延拓出来的函数是什么样子呢？让我们下期再来讲讲黎曼函数。

参考：
https://www.bilibili.com/video/BV1MW411S7Tg
https://www.bilibili.com/video/BV1oW411U7Bk
https://blog.csdn.net/qq_40155097/article/details/86670230