BST,AVL树,红黑树，B树，B+树，B*树(从map的底层实现到mysql索引原理)

本文不会对具体细节过多的探究，力求得到这几种树的联系以及区别，实际运用。

BST(二叉检索树)：

二叉检索树也是我们最熟悉的一个索引方式了，它保证所有节点的左子树都小于该节点，所有节点的右子树都大于该节点。就可以通过大小比较关系来进行快速的检索，在一棵满二叉平衡树的情况下，检索的效率可以达到logn(类似二分检索)，然后插入和删除的效率也是稳定的logn。
还是上一张图吧：

BST可以很多题目相关考察的重点，这里要注意：如何找BST的最低公开节点，BST的中序遍历得到的结果是递增序列。
这里要讲一下BST的一个缺点，由于BST没有相关措施保持平衡，很容易因为插入数据的不对导致树的不平衡，当极度不平衡的时候，BST就会退化成一个链表，搜索的速度自然也就降低到了N，相关维护的代价也高（要想插入和删除，前提是要找到该节点）。

AVL树：

AVL树解决了BST中容易出现不平衡的问题，通过旋转的手段来让BST保持满二叉树的性质，当插入一个新节点之后，从插入结点向上判断是否出现高度差超过2的结点，然后通过旋转来恢复平衡，具体的平衡规则可以看我这篇博客：
https://blog.csdn.net/github_33873969/article/details/79487199

AVL树有一个缺点就是维护的代价过高，相较于BST，AVL树要有一个保持平衡的旋转操作，并且要保持严格平衡，所以维护代码高。

红黑树：
红黑树是我这篇文章要说的一个重点，我们的stl中的map也是低层也是通过红黑树来实现的，先说下红黑树的5个基本原则吧：
红黑树首先是二叉平衡树

1.每个结点或是红色的，或是黑色的。
2.根结点是黑色的。
3.每个叶结点（NIL）是黑色的。
4.如果一个结点是红色的，则它的两个子结点都是黑色的。
5.对每个结点，从该结点到其所有后代叶结点的简单路径上，均包含相同数目的黑色结点。

重点关注一下原则4和5哈，这两个原则可以保证我们树的最长路径不超过最短路径的两遍，也就意味着一棵有n个内部结点的红黑树的高度至多为2lg(n+1)，虽然不是严格平衡，但是它的查找效率还是符合我们的要求的。
接下来就来说下红黑树在插入和删除的时候，维护红黑树相关性质的代价如何：
首先，红黑树是二叉平衡树，找到该节点的代码是logn。
接下来是调整，关于插入情况，如图所示：

、
插入的结点都为红色。
对于红黑树而言，插入的时候要保持原则4，考虑的重点在于叔结点的情况：
情况1：z的叔结点为红。
解决办法：改变父结点和叔结点的颜色为黑，祖父节点为红或者黑（看情况）
情况2: z的叔结点y是黑色的且z是一个右结点。
解决办法：对z的父节点进行左旋之后按照原则进行变色。
情况3：z的叔结点y是黑色的且z是一个左结点。
解决办法：对z的父节点进行右旋之后按照原则进行变色。
变化结果，可以从上图看出。
接下来说删除，删除树的节点的原则就是子树替换
还是先上图：

关于删除的调整操作，我们就更关注的是兄弟节点的状态如何了：
删除结点后，替换上的结点是黑色结点
1.节点X的兄弟节点w为红色，这个时候对x的父结点进行左旋，之后进行变色的操作。
2.x的兄弟节点w是黑色的，而且w的两个子结点都是黑色的。
解决办法：在这个条件下，违反的是原则五，因为黑高不统一。w结点变红，父节点考虑变色。
3.x的兄弟结点w是黑色的，w的左孩子是红色的，w的右孩子是黑色的。
解决办法：对w结点进行右旋再进行变色。（节点c和d替换色）
4.x的兄弟结点w是黑色的，且w的右孩子是红色的
解决办法：对w结点进行左旋再进行变色(A,B,C三个结点变色)
其他镜像问题也可以按照这个来解决。
红黑树虽然没有AVL树一样高度平衡，但是对于搜索的效率维持在log的数量级也够了。
并且红黑树的维护效率比AVL树高得多，最多只需要三次旋转，并且变色操作的复杂度可以忽略。
所以我们的map的

B树

刚刚说了那么多有关红黑树的内容，说了map的《key,value》是通过key来进行排序得到的。然而，我们的数据库所存储的数据不也是《key,value》为什么不用红黑树做我们的实现呢？
原因是局部性原理和内存不足原因：对于上面的BST,AVL,红黑树可以看作是一个个链表相叠加而成的。但是，链表通过指针的方式连接下一个数据，导致数据并不是处于一段连续的空间，也就无法使用缓冲的性质（连续读取一个页的数据进来使用），数据的局部性不强。特别是针对大数据情况，类似链表的树实则不是一个很好的选择。
2.并且对于大数据量的（例如数据库）不可能把所有的数据都载入main memory，所以不使用上述的红黑树结构
那么，有没很好利用局部性原理的检索树呢？
当然是有的啦，我们先从最开始的B树讲起，先上图：

也称B-树
每个结点的相关数据都是一个《key,value》的二元组。关于B树，这里有几个数据的相关定义：
1.树的度d>=1,就是每一层的一个结点的数据长度。
2.h为一个整数，表示一个B树的高度。
3.每个非叶子节点由n-1个key和n个指针组成，其中d<=n<=2d。
4.每个叶子节点最少包含一个key和两个指针，最多包含2d-1个key和2d个指针，叶节点的指针均为null 。
5.所有叶节点具有相同的深度，等于树高h。
6.key和指针互相间隔，节点两端是指针。
7.一个节点中的key从左到右非递减排列。
8.所有节点组成树结构。
9.每个指针要么为null，要么指向另外一个节点。
上图中表示的是一个d=2的B树，大家可以看到每一层的数据都是数字+指针+数字，在检索的时候符合局部性原理。
看了这个图，我相信的检索的方式也十分明了了：
每一层进行顺序检索，找到数字就返回。不然，找到对应的区间，到达下一个结点继续递归寻找，代码如下：

BTree_Search(node, key) {
    if(node == null) return null;
    foreach(node.key)
    {
        if(node.key[i] == key) return node.data[i];
            if(node.key[i] > key) return BTree_Search(point[i]->node);
    }
    return BTree_Search(point[i+1]->node);
}
data = BTree_Search(root, my_key);

从这些代码可以看出，B树很好的使用了数据的局部性原理，并且树高得到了控制，检索的效率以可以保持在logn的级别。但是，有两个缺点：
1.维护的代价依旧高，对于B树就不再是旋转以及变色的操作，而是进行分裂（插入结点，多了就分裂）和合并（删除结点，少了就合并）的操作。
2.我们的数据依旧在主存里面，一旦数据量一多，就无法把数据库中的数据全放主存当中。

B+树

出现了问题，自然就有解决的办法。
我们的B+树就诞生了，我们mysql的索引的底层实现也是基于B+树而实现的：
最重要的区别是：我们的数据现在都被存在了叶子结点，索引在非叶结点上。
形状如下：

我们就可以在检索的时候不把数据库中的大量数据载入（从磁盘载入：磁盘载入的效率非常慢：不旦IO慢，而且寻道时间也慢）了，而是要找到结果的时候才把数据载入，非常我们数据库的数据。实际上，我们的mysql的索引的底层实现也是基于B+树而实现的。
这里介绍一个数据库引擎：
MyISAM:
B+树的叶子结点存储的是对应检索条的地址：

地址指向我们的数据条。这就实现了我们的索引与数据分开的非聚集索引。
这里有个特点，每个叶子结点都可以通过指针相连，这就支持我们进行顺序打印了。

有非聚集索引自然也有聚集索引：
这里介绍的InnoDB主索引就是聚集索引，当实际数据跟索引相结合，如下图所示：

所以，聚集索引的InnoDB是必须设置主键的。
竟然必须设置主键，那么如果能设置一个递增的数据列作为主键就有利于改善检索效率（减少Page fault 即page in 和page out）。
非聚集索引则不一定设置主键。

是否采取索引的条件主要在于两个方面：
1.数据量是否大（2000条为线）
2.数据的选择性（重复的条数多少），重复的条数越少越适合索引。（每一条索引的返回值不能太多）

B*树

在B+树的基础上把叶子结点的数据用指针相连，并且在相同层的不同树节点也用指针相连
Reference:http://blog.codinglabs.org/articles/theory-of-mysql-index.html
《算法导论》
http://www.cnblogs.com/daoluanxiaozi/p/3340382.html
http://daoluan.net/学习总结/数据结构/算法/2013/09/28/rbtree-is-not-difficult-2.html
https://blog.csdn.net/qq_17612199/article/details/50944413