我们首先回顾下特征值和特征向量的定义如下:
其中A是一个 n×n
的矩阵, x 是一个 n 维向量,则我们说 λ 是矩阵A的一个特征值,而 x 是矩阵A的特征值 λ所对应的特征向量。
求出特征值和特征向量有什么好处呢? 就是我们可以将矩阵A特征分解。如果我们求出了矩阵A的 n
个特征值 λ1≤λ2≤...≤λn ,以及这 n 个特征值所对应的特征向量 {w1,w2,...wn} ,那么矩阵A就可以用下式的特征分解表示:其中W是这 n
个特征向量所张成的 n×n 维矩阵,而 Σ 为这n个特征值为主对角线的 n×n维矩阵。
一般我们会把W的这 n
个特征向量标准化,即满足 ||wi||2=1 , 或者说 wTiwi=1 ,此时W的 n 个特征向量为标准正交基,满足 WTW=I ,即 WT=W−1, 也就是说W为酉矩阵。
这样我们的特征分解表达式可以写成
注意到要进行特征分解,矩阵A必须为方阵。那么如果A不是方阵,即行和列不相同时,我们还可以对矩阵进行分解吗?答案是可以,此时我们的SVD登场了。
SVD也是对矩阵进行分解,但是和特征分解不同,SVD并不要求要分解的矩阵为方阵。假设我们的矩阵A是一个 m×n
的矩阵,那么我们定义矩阵A的SVD为:其中U是一个 m×m
的矩阵, Σ 是一个 m×n 的矩阵,除了主对角线上的元素以外全为0,主对角线上的每个元素都称为奇异值,V是一个 n×n 的矩阵。U和V都是酉矩阵,即满足 UTU=I,VTV=I。下图可以很形象的看出上面SVD的定义:
那么我们如何求出SVD分解后的 U,Σ,V
这三个矩阵呢?
如果我们将A的转置和A做矩阵乘法,那么会得到 n×n
的一个方阵 ATA 。既然 ATA 是方阵,那么我们就可以进行特征分解,得到的特征值和特征向量满足下式:这样我们就可以得到矩阵 ATA
的n个特征值和对应的n个特征向量 v 了。将 ATA 的所有特征向量张成一个 n×n的矩阵V,就是我们SVD公式里面的V矩阵了。一般我们将V中的每个特征向量叫做A的右奇异向量。
如果我们将A和A的转置做矩阵乘法,那么会得到 m×m
的一个方阵 AAT 。既然 AAT 是方阵,那么我们就可以进行特征分解,得到的特征值和特征向量满足下式:这样我们就可以得到矩阵 AAT
的m个特征值和对应的m个特征向量 u 了。将 AAT 的所有特征向量张成一个 m×m的矩阵U,就是我们SVD公式里面的U矩阵了。一般我们将U中的每个特征向量叫做A的左奇异向量。
U和V我们都求出来了,现在就剩下奇异值矩阵 Σ
没有求出了。由于 Σ 除了对角线上是奇异值其他位置都是0,那我们只需要求出每个奇异值 σ就可以了。
我们注意到:
这样我们可以求出我们的每个奇异值,进而求出奇异值矩阵 Σ
。
上面还有一个问题没有讲,就是我们说 ATA
的特征向量组成的就是我们SVD中的V矩阵,而 AAT 的特征向量组成的就是我们SVD中的U矩阵,这有什么根据吗?这个其实很容易证明,我们以V矩阵的证明为例。上式证明使用了: UTU=I,ΣT=Σ。
可以看出 ATA 的特征向量组成的的确就是我们SVD中的V矩阵。类似的方法可以得到 AAT的特征向量组成的就是我们SVD中的U矩阵。
进一步我们还可以看出我们的特征值矩阵等于奇异值矩阵的平方,也就是说特征值和奇异值满足如下关系:
这样也就是说,我们可以不用 σi=Avi/ui
来计算奇异值,也可以通过求出 ATA的特征值取平方根来求奇异值。
这里我们用一个简单的例子来说明矩阵是如何进行奇异值分解的。我们的矩阵A定义为:
我们首先求出 ATA
和 AAT
进而求出 ATA
的特征值和特征向量:接着求 AAT
的特征值和特征向量:
利用 Avi=σiui,i=1,2
求奇异值:
当然,我们也可以用 σi=λi−−√
直接求出奇异值为 3√和1.
最终得到A的奇异值分解为:
上面几节我们对SVD的定义和计算做了详细的描述,似乎看不出我们费这么大的力气做SVD有什么好处。那么SVD有什么重要的性质值得我们注意呢?
对于奇异值,它跟我们特征分解中的特征值类似,在奇异值矩阵中也是按照从大到小排列,而且奇异值的减少特别的快,在很多情况下,前10%甚至1%的奇异值的和就占了全部的奇异值之和的99%以上的比例。也就是说,我们也可以用最大的k个的奇异值和对应的左右奇异向量来近似描述矩阵。也就是说:
其中k要比n小很多,也就是一个大的矩阵A可以用三个小的矩阵 Um×k,Σk×k,VTk×n
来表示。如下图所示,现在我们的矩阵A只需要灰色的部分的三个小矩阵就可以近似描述了。
由于这个重要的性质,SVD可以用于PCA降维,来做数据压缩和去噪。也可以用于推荐算法,将用户和喜好对应的矩阵做特征分解,进而得到隐含的用户需求来做推荐。同时也可以用于NLP中的算法,比如潜在语义索引(LSI)。下面我们就对SVD用于PCA降维做一个介绍。
在主成分分析(PCA)原理总结中,我们讲到要用PCA降维,需要找到样本协方差矩阵 XTX
的最大的d个特征向量,然后用这最大的d个特征向量张成的矩阵来做低维投影降维。可以看出,在这个过程中需要先求出协方差矩阵 XTX,当样本数多样本特征数也多的时候,这个计算量是很大的。
注意到我们的SVD也可以得到协方差矩阵 XTX
最大的d个特征向量张成的矩阵,但是SVD有个好处,有一些SVD的实现算法可以不求先求出协方差矩阵 XTX ,也能求出我们的右奇异矩阵 V。也就是说,我们的PCA算法可以不用做特征分解,而是做SVD来完成。这个方法在样本量很大的时候很有效。实际上,scikit-learn的PCA算法的背后真正的实现就是用的SVD,而不是我们我们认为的暴力特征分解。
另一方面,注意到PCA仅仅使用了我们SVD的右奇异矩阵,没有使用左奇异矩阵,那么左奇异矩阵有什么用呢?
假设我们的样本是 m×n
的矩阵X,如果我们通过SVD找到了矩阵 XXT 最大的d个特征向量张成的 m×d 维矩阵U,则我们如果进行如下处理:可以得到一个 d×n
的矩阵X‘,这个矩阵和我们原来的 m×n 维样本矩阵X相比,行数从m减到了k,可见对行数进行了压缩。也就是说,左奇异矩阵可以用于行数的压缩。相对的,右奇异矩阵可以用于列数即特征维度的压缩,也就是我们的PCA降维。