【算法导论之七】动态规划求解最长公共子序列
一、动态规划的概念
动态规划（Dynamic Programming）是通过组合子问题的解而解决整个问题的。分治算法是指将问题划分成一些独立的子问题，递归地求解各子问题，然后合并子问题的解而得到原始问题的解，与此不同，动态规划适用于子问题不是独立的情况，也就是各个子问题包含公共的子问题。在这种情况下，采用分治法会做许多不必要的工作，即重复地求解公共地子问题。动态规划算法对每个子问题只求解一次，将其结果保存在一张表中，从而避免每次遇到各个子问题时重新计算答案。
动态规划通常应用于最优化问题。此类问题可能有很多种可行解。每个解有一个值，而我们希望找出具有最优（最大或最小）值的解。称这样的解为该问题的“一个”最优解，而不是“确定的”最优解，因为可能存在多个取最优值的解。
为了节约重复求相同子问题的时间，引入一个数组，不管他们是否对最终解有用，把所有子问题的解存于该数组中，这就是动态规划所采用的基本方法。
二、动态规划求解的一般步骤
动态规划算法的设计可以分为如下4个步骤：
1> 描述最优解的结构。
2> 递归定义最优解的值。
3> 按自底向上的方式计算最优解的值。
4> 由计算出的结果构造一个最优解。
这就是动态规划算法的一般步骤，单这么说肯定没有任何意义，下面我们会通过求解最长公共子序列问题来说明，如何一步步的适用动态规划思想分析问题。
三、最长公共子序列问题描述
问题描述：字符序列的子序列是指从给定字符序列中随意地（不一定连续）去掉若干个字符（可能一个也不去掉）后所形成的字符序列。令给定的字符序列 X = "x0, x1, ... xm-1"，字符序列 Y = "y0, y1, ... , yk-1"是X的子序列，则存在X的一个严格递增（注意：不是连续递增）下标序列
先给出问题：假设字符串X = “ABCBDAB”， Y=“BDCABA”，求他们的最长公共子序列。
四、动态规划求解最长公共子序列问题
1> 描述最优解的结构。
解决上述问题的一种强力方法是枚举出X的所有子序列，然后逐一检查看其是否为Y的子序列，并随时记录所发现的最长子序列。X的每个子序列对应于X的下标集{1，2，... ，m}的一个子集。X共有2^m个子序列，因此这种方法需要指数时间，这对长序列来说是不实际的。
设 X =
1) 如果Xm = Yn，那么zk = Xm = Yn，而且zk-1是Xm-1和Yn-1的一个最长公共子序列。
2) 如果Xm != Yn，那么zk != Xm蕴含Z是Xm-1和Yn的一个最长公共子序列。
3) 如果Xm != Yn，那么zk != Yn蕴含Z是Xm和Yn-1的一个最长公共子序列。
这样，在找X和Y的最长公共子序列时，如果有Xm-1 = Yn-1，则进一步解决一个子问题，找"x0, x1, ... , xm-2" 和 "y0, y1, ... , yn-2"的一个最长公共子序列；如果Xm-1 != Yn-1，则需要解决两个子问题，找出"x0, x1, ... , xm-2" 和 "y0, y1, ... , yn-1"的一个最长公共子序列和找出 "x0, x1, ... , xm-1" 和 “y0, y1, ... , yn-2”的一个最长公共子序列，再去两者中较长者作为X和Y的最长公共子序列。
2> 递归定义最优解的值
最长公共子序列问题的递归解涉及到建立一个最优解的递归式。定义c[i, j]的序列为Xi 和 Yj的一个最长公共子序列的长度。如果i = 0 或 j = 0，其中一个的序列长度为0，因此最长公共子序列的长度为0。由最长公共子序列问题的最优子结构可得递归式
3> 按自底向上的方式计算最优解的值
引入一个二维数组，C[i][j]，用C[i][j]记录X[i]与Y[j]的最长公共子序列的长度，B[i][j]记录C[i][j]是通过那一个子问题的值求得的，以决定搜索我们是自底向上进行递推计算，那么在计算c[i,j]之前，c[i-1][j-1]，c[i-1][j]与c[i][j-1]均已计算出来。此时我们根据X[i] = Y[j]还是X[i] != Y[j]，就可以计算出c[i][j]。
for (int i = 1; i <= nXlen; i++)
{
for (int j = 1; j <= nYlen; j++)
{
if (strX[i] == strY[j])
{
C[i][j] = C[i-1][j-1] + 1;
B[i][j] = 0;
}
else
{
//! 注意这里的=号，它表示了，如果C[i-1][j] == C[i][j-1]的时候，它既可以向左走又可以向上走
//! 而此时选择了向左走，按照此种方式输出最长公共子序列的时候，只能输出一条，需改进！！
if (C[i-1][j] >= C[i][j-1])
{
C[i][j] = C[i-1][j];
B[i][j] = 1; //! 左移
}
else
{
C[i][j] = C[i][j-1];
B[i][j] = -1; //! 右移
}
}
}
} 
void PrintAllCase(int B[][MAX_LEN], const string &strX, int i, int j)
{
if (i == 0 || j == 0)
{
return ;
}
if (B[i][j] == 0)
{
PrintAllCase(B, strX, i-1, j-1);
cout << strX[i-1];
}
else if (B[i][j] == 1)
{
PrintAllCase(B, strX, i-1, j);
}
else
{
PrintAllCase(B, strX, i, j-1);
}
}五、C++实现代码
/************************************************************************/
/* 动态规划求解最长公共子序列 */
/************************************************************************/
#include
#include
#include
using namespace std;
#define MAX_LEN 100
void LCS(const string &strX, const string &strY, int nXlen, int nYlen, int C[][MAX_LEN], int B[][MAX_LEN])
{
for (int i = 0; i <= nXlen; i++)
{
C[i][0] = 0;
}
for (int j = 0 ; j <= nYlen; j++)
{
C[0][j] = 0;
}
for (int i = 1; i <= nXlen; i++)
{
for (int j = 1; j <= nYlen; j++)
{
if (strX[i] == strY[j])
{
C[i][j] = C[i-1][j-1] + 1;
B[i][j] = 0;
}
else
{
//! 注意这里的=号，它表示了，如果C[i-1][j] == C[i][j-1]的时候，它既可以向左走又可以向上走
//! 而此时选择了向左走，按照此种方式输出最长公共子序列的时候，只能输出一条，需改进！！
if (C[i-1][j] >= C[i][j-1])
{
C[i][j] = C[i-1][j];
B[i][j] = 1; //! 左移
}
else
{
C[i][j] = C[i][j-1];
B[i][j] = -1; //! 右移
}
}
}
}
}
void PrintAllCase(int B[][MAX_LEN], const string &strX, int i, int j)
{
if (i == 0 || j == 0)
{
return ;
}
if (B[i][j] == 0)
{
PrintAllCase(B, strX, i-1, j-1);
cout << strX[i-1];
}
else if (B[i][j] == 1)
{
PrintAllCase(B, strX, i-1, j);
}
else
{
PrintAllCase(B, strX, i, j-1);
}
}
int main()
{
string strX = "ABCBDAB";
string strY = "BDCABA";
int C[MAX_LEN][MAX_LEN]; //! 记录最长公共子序列的长度
int B[MAX_LEN][MAX_LEN]; //! 记录最长公共子序列的移动线路
int nXlen = strX.length();
int nYlen = strY.length();
LCS(strX, strY, nXlen, nYlen, C, B);
cout << "The max length of LCS is " << C[nXlen][nYlen] << endl;
cout << "The LCS are : ";
PrintAllCase(B, strX, nXlen, nYlen);
system("PAUSE");
return 0;
} 当前算法实现在输出最长公共子序列的时候只能输出一条，如果需要输出所有的则需要改进。
六、补充：最长公共子串
注意区别：最长公共子序列（不连续）
最长公共子串（连续）
其最主要的区别就是递归式上的不同。
/************************************************************************/
/*
注意：该题是传统LCS最长公共子序列的变种问题，其解题思路是一样的。
注意区分
最长公共子序列（不连续）
最长公共子串（连续）
对应的递归式：
最长公共子序列：
c[i][j] =
0 i == 0 or y == 0
c[i-1][j-1] + 1 strA[i] = strB[j]
max{c[i][j-1], c[i-1][j]} strA[i] != strB[j]
最长公共子串
c[i][j] =
0 i == 0 or y == 0 or strA[i] != strB[j]
c[i-1][j-1] + 1 strA[i] = strB[j]
递归式的主要区别：
1. 当strA[i] != strB[j]时，最长公共子序列是在c[i][j-1]和c[i-1][j]中取较大者；
而最长公共子串则是0，因为当这个位置的不相等时必须重新开始计数，因为必须连续。
2. 获取最长公共子序列或最长公共子串的长度是，最长公共子序列一定是在Matrix的最大位置处；
而最长公共子串则是在Matrix二维数组中的最大值才是。
3. 在写代码上只是在LCS递归式上的处理不同，其他均相同。
*/
/************************************************************************/
#include
#include
#include
using namespace std;
#define MAX_LEN 100
void LCS2(const string &strA, const string &strB, int nLenA, int nLenB, int myMatrix[][MAX_LEN], int &nMaxLen)
{
for (int i = 0 ; i <= nLenA; i++)
{
myMatrix[0][i] = 0;
}
for (int j = 0; j <= nLenB; j++)
{
myMatrix[j][0] = 0;
}
int nMaxTmp = 0 ;
for (int i = 1; i <= nLenA; i++)
{
for (int j = 1; j <= nLenB; j++)
{
if (strA[i] == strB[j])
{
myMatrix[i][j] = myMatrix[i-1][j-1] + 1;
if (myMatrix[i][j] > nMaxTmp)
{
nMaxTmp = myMatrix[i][j];
}
}
else
{
myMatrix[i][j] = 0;
}
}
}
nMaxLen = nMaxTmp;
}
int main()
{
string strA = "GCCCTAGCCAGDE";
string strB = "GCGCCAGTGDE";
int nLenA = strA.length();
int nLenB = strB.length();
int CostMatrix[MAX_LEN][MAX_LEN] = {0};
int nMaxLen = 0;
LCS2(strA, strB, nLenA, nLenB, CostMatrix, nMaxLen);
//! 此时最大长度就不是CostMatrix矩阵的最后位置了，而是CostMatrix中的最大值。
cout << "The max length is : " << nMaxLen << endl;
system("PAUSE");
return 0;
}