对数函数绝对值交点问题

已知两条直线\(l_1：y=m\)和\(l_2：y=\frac{8}{2m+1}(m>0)\)

\(l_1\)与函数\(y=|log_2x|\)的图像从左到右交点为\(A,B\)，\(l_2\)与函数\(y=|log_2x|\)的图像从左到右交点为\(C,D\)

记线段\(AC\)在\(x\)轴上投影长度为\(a\)，线段\(BD\)在\(x\)轴上投影长度为\(b\)，求\(\frac{b}{a}\)的最小值

解答：

根据题意，图像是一条对数函数的绝对值加两个常函数

设下面的一条是\(l_1\)，上面那条是\(l_2\)

联立解析式可以得出

\[x_A=2^{-m},x_B=2^m,x_C=2^{-\frac{8}{2m+1}},x_D=2^{\frac{8}{2m+1}} \]

\[\frac{b}{a}=\frac{|2^{\frac{8}{2m+1}}-2^{m}|}{|2^{-m}-2^{-\frac{8}{2m+1}}|} \]

\[=\frac{|2^{\frac{8}{2m+1}}-2^{m}|}{|\frac{1}{2^{-m}}-\frac{1}{2^{\frac{8}{2m+1}}}|} \]

\[=\frac{|2^{\frac{8}{2m+1}}-2^{m}|} { |\frac{2^m-2^{\frac{8}{2m-1}}} {2^m2^{\frac{8}{2m-1}}}| } \]

\[={2^{m+\frac{8}{2m-1}}} \]

显然\(2^x\)是增函数，考虑让指数最小

\[m+\frac{8}{2m+1}=\frac{1}{2}(2m+1)+\frac{8}{2m+1}-\frac{1}{2}\ge 2\sqrt{\frac{1}{2}*8}-\frac{1}{2}=\frac{7}{2} \]

所以\(\frac{b}{a}\)最小值为\(2^{\frac{7}{2}}=8\sqrt{2}\)