离散数学笔记三--命题逻辑的推理理论

第三章命题逻辑的推理理论

1.推理的形式结构

（1）定义3.1：设A1，A2，A3...Ak和B都是命题公式，若对于A1，A2，A3...Ak和B中出现的命题变项的任意一组赋值，或者A1，A2，A3...Ak为假，或者当A1，A2，A3...Ak为真是，B也为真，则称由 前提A1，A2，A3...Ak推出 结论B的推理是有效的或正确的，并称B是有效的结论。

由上面的推论可知，推理正确的并不能保证结论B一定成立，因为前提可能就不成立。这与我们通常理解的推理是不同的。通常只能认为在正确的前提下推出正确的结论才是正确的推理，而在这里，如果前提不正确，不论结论正确与否，都说推理正确。

（2 ）定理3.1：命题公式A1，A2......Ak推导B的推理正确当且仅当    A1，A2......Ak--->B为重言式。

要把推理的形式写成：

前提：A1，A2......Ak

结论：B

2自然推理系统P

本节由前提A1，A2......，Ak推B的正确推理的证明给出严格的形式描述。“证明”是一个描述推理过程的命题公式序列，其中的每个公式或者是已知前提，或者是由前面的公式应用推理规则得到的结论（中间结论或推理中的结论）

（1）定义3.2：一个形式系统I由下面4个部分组成：

• 非空的字母表A（I）;
• A（I）中符号构造的合式公式集E（I）
• E（I）中一些特殊的公式组成的公理集Ax（I）
• 推理规则R（I）

将I记为四元组.其中是I的 形式语言系统，而为I的 形式演算系统。

形式系统一般分为两类：一类是 自然推理系统，它的特点是从任意给定的前提出发，应用系统中的推理规则进行推理演算，最后得到的命题公式是推理的结论（它是有效的结论，尔肯那个是重言式，也可能不是重言式）。另一类是 公理推理系统，他只能从若干条给定的公里出发，应用系统中的推理规则进行推理演算，得到的结论是系统中的重言式，成为系统中的 定理。本书只介绍自然推理系统P，定义中无公理部分，因而只有3个部分 。

（2）定义3.3：自然推理系统P的定义如下：

• 字母表：前面介绍的那些字母表，包括命题变项符号，pqr；联结词符号，与或非蕴含等；口号和逗号
• 合式公式
• 推理规则：
  • 前提引入规则--在证明的任何步骤都可以引入前提
  • 结论引入规则--在证明的任何步骤所得的结论都可以作为后继证明的前提
  • 置换规则：在证明的任何步骤，命题公式中的自公式都可以用等值的公式置换，得到公式序列中又一个公式、
• 隐身的推导结论和定律