素数筛法【Sieve Of Eratosthenes + Sieve Of Euler】

拖了有段时间，今天来总结下两个常用的素数筛法：

1、sieve of Eratosthenes【埃氏筛法】

这是最简单朴素的素数筛法了，根据wikipedia，时间复杂度为 ，空间复杂度为O（n）。

算法思想：先假定所有的数都是素数，然后从最小的素数2出发，把素数的所有倍数筛出去。又因为一个数的质因数都是成对出现的，比如100 = 1*100 = 2*50 = .....= 10*10，所以筛素数时只用筛到 n的开平方就行了。

伪代码如下：

对于任意的范围n，

设bool prime[ ]，初始化 2→n 的元素为false，

for（i=2; i < sqrt(n); i+++）

   if (!prime[ i ])

      for(j = i*i;  j * i < n; j+=i)

           prime[ j ] = false

 

2、sieve of Euler【欧拉线性筛】

尽管把埃氏筛法“优化”到n的开平方，但是还是做了很多重复的工作，比如 合数 6，它就会被2，和3重复筛出。

根据“每个整数都可以分解成它的 质因数之积”，因此每个数只需要被它的最小质因数筛除。

由上可以得到线性时间复杂度的筛法，欧拉筛法。

算法思路：

欧拉筛是个以空间换时间的算法，用prime[ ]数组记录素数，初始bool数组is_prime[ ]为false记录每个数是否是素数，

伪代码如下：

k = 0

for(i = 2; i < n; i++)

    if(!is_prime[i])

      prime[k++] = i

   for(j = 0; j < k&&i * prime[ j ]; j++)

      is_prime[i*prime[ j ]] = true;

     if(i % prime[ j ]) break;    //关键步骤。在此的prime[ j ]一定是i的最小质因子，you can gusse why~0-0

  【以下是实现代码，外加两种算法在时间上的比对】

#include
#include
#include
#include
using namespace std;
const long long maxn = 100000000;
bool  is_prime[maxn];
int EUprime[maxn];
bool ERprime[maxn];

int euler(int n){
   int k = 0;
   memset(is_prime,false, sizeof(is_prime));
   for(int i = 2; i <= n; i++){
    if(!is_prime[i])
        EUprime[k++] = i;
    for(int j = 0; j < k&&i * EUprime[j] <= n; j++){
        is_prime[i*EUprime[j]] = true;
        if(i % EUprime[j] == 0) break;
    }
   }
   return k;
}

int eratosthense(int n){
    int k = 0;
    memset(ERprime,false,sizeof(ERprime));
    for(int i = 2; i * i <= n; i++){
        if(!ERprime[i]){
            for(int j = i*i; j <= n; j+=i){
                ERprime[j] = true;
            }
        }
    }
    for(int i = 2; i <= n; i++)
    if(!ERprime[i]) {k++;}
    return k;
}

int main(){
    //int n;
    clock_t st,ed;
    double sec;
    for(int i = 10; i < 1000000000; i *= 10){
      cout<

【可以看到在小数据上两个算法效率差别不大，在大数据情况下，Euler筛法的效率明显比埃氏筛法高】