Miller Rabin-大素数判定及整数分解模板
该算法的一些理论
Miller-Rabin算法是Fermat算法的一个变形改进，它的理论基础是由Fermat定理引申而来。
Fermat 定理： n是一个奇素数，a是任何整数(1≤ a≤n-1) ，则 a^(n-1)≡1(mod n)。
Miller-Rabin 算法的理论基础：如果n是一个奇素数， 将n-1表示成2^s*r的形式(r是奇 数)，a 是和n互素的任何整数， 那么a^r≡1(mod n) 或者对某个j(0≤j ≤s －1， j∈Z) 等式 a^(2^j*r) ≡－1(mod n)成立。 这个理论是通过一个事实经由Fermat定理推导而来： n是一个奇素数，则方程x^2 ≡ 1 mod n只有±1两个解。
算法实现
Miller-Rabin(n,t)
输入：一个大于3的奇整数n和一个大于等于1的安全参 数t(用于确定测试轮数)。
输出：返回n是否是素数(概率意义上的，一般误判概率小于(1/2)80即可) 。
1、将n-1表示成2sr，(其 中 r是奇数)
2、 对i从1到 t 循环作下面的操作：
2.1选择一个随机整数a(2≤a ≤n-2)
2.2计算y ←ar mod n
2.3如果y≠1并且y ≠n-1作下面的操作,否则转3：
2.3.1 j←1;
2.3.2 当j≤s-1 并且y≠n-1循环作下面操作,否则跳到 2.3.3：
{计算y ←y2 mod n;
如果 y=1返回 "合数 "；
否则 j←j+1; }
2.3.3如果y ≠n-1 则返回" 合数" ；
3、返回"素数"。 说明：本算法2.3.2循环中的"y=1返回"合数" "是基于如下定理：
定理： 设x、y和n是整数，如果x2=y2 (mod n) 但x ≠±y
(mod n)，则(x-y)和n的公约数中有n的非平凡因子。 在算法2.3.2循环中，如果y=1则a2(j-1)r =1(mod n)，而由此也可知a2(j- 1)r≠±1(mod n) ，由此通过上面的定理可以知道，(a2(j-1)r －1)和n有非平凡公因子，从而可判断n是合数。
该算法是一种基于概率的素数测试算法，特点是速度快，能判断<2^63的数是不是素数
虽然是基于概率，但是其实该算法还是蛮可靠的，首先是可以通过增加测试次数提高测试的正确率
代码模板
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#define mem(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
using namespace std;
typedef long long ll;
const int S = 8;//测试次数
ll mult_mod (ll a,ll b, ll c)
{
a%=c,b%=c;
ll ret = 0;
ll tmp = a;
while (b)
{
if (b&1)
{
ret += tmp;
if (ret > c)
ret -= c;
}
tmp<<=1;
if (tmp>c)
tmp-=c;
b>>=1;
}
return ret;
}
ll pow_mod(ll a,ll n,ll mod)
{
ll ret = 1;
ll temp = a%mod;
while (n)
{
if (n&1)
ret = mult_mod(ret,temp,mod);
temp = mult_mod(temp,temp,mod);
n>>=1;
}
return ret;
}
bool check(ll a,ll n,ll x,ll t)
{
ll ret = pow_mod(a,x,n);
ll last = ret;
for (int i = 1; i <= t; ++i)
{
ret = mult_mod(ret,ret,n);
if (ret == 1&&last!=1&&last!=n-1)
return 1;
last = ret;
}
if (ret != 1)
return 1;
else
return 0;
}
bool MR(ll n)
{
if(n < 2)
return 0;
if (n == 2)
return 1;
if ((n&1)==0)
return 0;
ll x = n - 1;
ll t = 0;
while ((x&1)==0)
{
x>>=1;
++t;
}
srand(time(NULL));
for (int i = 0; i < S; ++i) //做S次测试
{
ll a = rand()%(n-1) + 1;
if (check(a,n,x,t))
return 0;//只要其中有一次判定是合数就可以确定一定是合数
}
return 1;
}
int main()
{
ll n;
while (cin>>n)
{
if (MR(n))
puts("YES");
else
puts("NO");
}
return 0;
}
整数分解用Pollard rho算法
#include
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#include
#include
using namespace std;
//****************************************************************
// Miller_Rabin 算法进行素数测试
//速度快，而且可以判断 <2^63的数
//****************************************************************
const int S=20;//随机算法判定次数，S越大，判错概率越小
//计算 (a*b)%c. a,b都是long long的数，直接相乘可能溢出的
// a,b,c <2^63
long long mult_mod(long long a,long long b,long long c)
{
a%=c;
b%=c;
long long ret=0;
while(b)
{
if(b&1){ret+=a;ret%=c;}
a<<=1;
if(a>=c)a%=c;
b>>=1;
return ret;
}
//计算 x^n %c
long long pow_mod(long long x,long long n,long long mod)//x^n%c
{
if(n==1)return x%mod
x%=mod;
long long tmp=x;
long long ret=1;
while(n)
{
if(n&1) ret=mult_mod(ret,tmp,mod);
tmp=mult_mod(tmp,tmp,mod);
n>>=1;
}
return ret;
}
//以a为基,n-1=x*2^t a^(n-1)=1(mod n) 验证n是不是合数
//一定是合数返回true,不一定返回false
bool check(long long a,long long n,long long x,long long t)
{
long long ret=pow_mod(a,x,n);
long long last=ret;
for(int i=1;i<=t;i++)
{
ret=mult_mod(ret,ret,n);
if(ret==1&&last!=1&&last!=n-1) return true;//合数
last=ret;
}
if(ret!=1) return true;
return false;
}
// Miller_Rabin()算法素数判定
//是素数返回true.(可能是伪素数，但概率极小)
//合数返回false;
bool Miller_Rabin(long long n)
{
if(n<2)return false;
if(n==2)return true;
if((n&1)==0) return false;//偶数
long long x=n-1;
long long t=0;
while((x&1)==0){x>>=1;t++;}
for(int i=0;i=n)p=Pollard_rho(p,rand()%(n-1)+1);
findfac(p);
findfac(n/p);
}
int main()
{
//srand(time(NULL));//需要time.h头文件//POJ上G++不能加这句话
long long n;
while(scanf("%I64d",&n)!=EOF)
{
tol=0;
findfac(n);
for(int i=0;i 模板代码参考自https://blog.csdn.net/tomorrowtodie/article/details/51865496