BZOJ2428 ||洛谷P2503 [HAOI2006]均分数据【模拟退火+DP】

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Description

已知N个正整数：A1、A2、……、An 。今要将它们分成M组，使得各组数据的数值和最平均，即各组的均方差最小。均方差公式如下：

其中σ为均方差，是各组数据和的平均值，xi为第i组数据的数值和。

Input

第一行是两个整数，表示N,M的值（N是整数个数，M是要分成的组数）
第二行有N个整数，表示A1、A2、……、An。整数的范围是1–50。
（同一行的整数间用空格分开）

Output

这一行只包含一个数，表示最小均方差的值(保留小数点后两位数字)。

HINT

对于全部的数据，保证有K<=N <= 20，2<=K<=6

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题目分析

这题的难点在于同一组的数字不一定连续

若假设分组是连续的
那么我们可以用$dp[i][j]$表示前$i$个数分$j$组的最小值

初始化$dp[0][0]=0$，其余为$inf$
那么有转移方程
$dp[i][j]=min(dp[k][j-1]+(sum[i]-sum[k]-\frac{sum[n]}{m}))$$k\in [0,i)$
其中$sum[i]$为原序列前缀和
DP复杂度为$O(n^3)$

为了将问题转化为求解连续数字的分组
我们可以用模拟退火不断随机新序列并DP
以此不断向最优解靠近

爬山算法 x 模拟退火

---

#include
#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
typedef double dd;
#define sqr(x) ((x)*(x))
#define T 1000
#define eps 1e-8
#define delta 0.993
 
int read()
{
    int f=1,x=0;
    char ss=getchar();
    while(ss<'0'||ss>'9'){if(ss=='-')f=-1;ss=getchar();}
    while(ss>='0'&&ss<='9'){x=x*10+ss-'0';ss=getchar();}
    return f*x;
}
 
const int maxn=50;
int n,m;
int a[maxn],sum[maxn];
dd dp[maxn][maxn],ans;
 
dd DP()
{
    memset(dp,67,sizeof(dp)); dp[0][0]=0;
    for(int i=1;i<=n;++i) sum[i]=sum[i-1]+a[i];
    for(int i=1;i<=n;++i)
    for(int j=1;j<=i;++j)
    for(int k=0;k<i;++k)
    dp[i][j]=min(dp[i][j],(dd)dp[k][j-1]+(dd)sqr((dd)(sum[i]-sum[k])-(dd)sum[n]/m));
    return dp[n][m];
}
 
void SA()
{
    dd t=T; 
    while(t>eps)
    {
        int x=0,y=0;
        while(x==y) x=rand()%n+1,y=rand()%n+1;
        swap(a[x],a[y]);
        dd tt=DP();
        dd dE=ans-tt;
        if(dE>=0) ans=tt;
        else if( exp(dE/t) > (dd)rand()/(dd)RAND_MAX ) ;
        else swap(a[x],a[y]);
        t*=delta;
    }
}
 
int main()
{
    srand(19491001);//选一个好的种子对非酋来说十分必要(逃
    n=read();m=read();
    for(int i=1;i<=n;++i) a[i]=read();
     
    ans=DP();
    for(int i=1;i<=3;++i) SA();
    printf("%.2lf",sqrt(ans/(dd)m));
    return 0;
}