每日一题——不同的二叉搜索树

菜鸡每日一题系列打卡96天

每天一道算法题目 

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题目描述(引自LeetCode)

给定一个整数n，求以1 ... n为节点组成的二叉搜索树有多少种？

示例:


输入: 3


输出: 5


解释:
给定 n = 3, 一共有 5 种不同结构的二叉搜索树:


   1         3     3      2      1
    \       /     /      / \      \
     3     2     1      1   3      2
    /     /       \                 \
   2     1         2                 3

题目分析

这是上一道题目的简化版，我们在上一题中提到了卡特兰数的概念，这道题目其实就是求取的卡特兰数，但为了提供更多思路，菜鸡将采取两种方式进行求解。

• 第一种是我们经常使用的动态规划。

首先，我们记以i(1 <= i <= n)为根的二叉搜索树为F(i, n)，记二叉搜索树的总数为G(n)，则



而考虑以i为根的二叉搜索树，其左子树必定以j(1 <= j < i)为根，其右子树必定以k(i < k <= n)为根。因此，以i为根的二叉搜索树，其左子树的总数为G(i - 1)，其右子树的总数为G(n - i)。从而有



综合上述两条等式，我们可以得到



因此，只需要以dp[]数组记录G的值并进行计算即可。

• 第二种是上文提到的卡特兰数计算。

  其实，这种方法可以由动态规划的递推式推演而来，我们可以得到，对n > 0，有

  

  从而可以直接按照上述公式进行计算，得到结果。

代码实现

// 动态规划
class Solution {


    public int numTrees(int n) {
        int[] dp = new int[n + 1];
        dp[0] = 1;
        dp[1] = 1;
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= i; j++) {
                dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j];
            }
        }
        return dp[n];
    }


}

// 卡特兰数
class Solution {


    public int numTrees(int n) {
        long catalan = 1L;
        for (int i = 0; i < n; i++) catalan = catalan * 2 * (2 * i + 1) / (i + 2);
        return (int) catalan;
    }


}

代码分析

对代码进行分析，动态规划的时间复杂度为O(n^2)，空间复杂度为O(n)；卡特兰数公式的时间复杂度为O(n)，空间复杂度为O(1)。

执行结果

动态规划的执行结果

卡特兰数的执行结果

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