线段树

线段树

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持续更新中···

一：线段树基本概念

1：概述

线段树，类似区间树，是一个完全二叉树，它在各个节点保存一条线段（数组中的一段子数组），主要用于高效解决连续区间的动态查询问题，由于二叉结构的特性，它基本能保持每个操作的复杂度为O(lgN)!

性质：父亲的区间是[a,b],(c=(a+b)/2)左儿子的区间是[a,c]，右儿子的区间是[c+1,b]，线段树需要的空间为数组大小的四倍

2：基本操作（demo用的是查询区间最小值）

线段树的主要操作有：

(1)：线段树的构造 void build(int node, int begin, int end);

主要思想是递归构造，如果当前节点记录的区间只有一个值，则直接赋值，否则递归构造左右子树，最后回溯的时候给当前节点赋值

 #include
 using namespace std;

 const int maxind = 256;
 int segTree[maxind * 4 + 10];
 int array[maxind];
 /* 构造函数，得到线段树 */
 void build(int node, int begin, int end)
 {
     if (begin == end)
         segTree[node] = array[begin]; /* 只有一个元素,节点记录该单元素 */
     else
     {
         /* 递归构造左右子树 */
         build(2*node, begin, (begin+end)/2);
         build(2*node+1, (begin+end)/2+1, end);

         /* 回溯时得到当前node节点的线段信息 */
         if (segTree[2 * node] <= segTree[2 * node + 1])
             segTree[node] = segTree[2 * node];
         else
             segTree[node] = segTree[2 * node + 1];
     }
 }

 int main()
 {
     array[0] = 1, array[1] = 2,array[2] = 2, array[3] = 4, array[4] = 1, array[5] = 3;
     build(1, 0, 5);
     for(int i = 1; i<=20; ++i)
      cout<< "seg"<< i << "=" <
     return 0;
 }

 此build构造成的树如图：

(2)：区间查询int query(int node, int begin, int end, int left, int right);

（其中node为当前查询节点，begin,end为当前节点存储的区间，left,right为此次query所要查询的区间）

主要思想是把所要查询的区间[a,b]划分为线段树上的节点，然后将这些节点代表的区间合并起来得到所需信息

比如前面一个图中所示的树，如果询问区间是[0,2]，或者询问的区间是[3,3]，不难直接找到对应的节点回答这一问题。但并不是所有的提问都这么容易回答，比如[0,3]，就没有哪一个节点记录了这个区间的最小值。当然，解决方法也不难找到：把[0,2]和[3,3]两个区间（它们在整数意义上是相连的两个区间）的最小值“合并”起来，也就是求这两个最小值的最小值，就能求出[0,3]范围的最小值。同理，对于其他询问的区间，也都可以找到若干个相连的区间，合并后可以得到询问的区间。

 int query(int node, int begin, int end, int left, int right)
 {
     int p1, p2;

     /*  查询区间和要求的区间没有交集  */
     if (left > end || right < begin)
         return -1;

     /*  if the current interval is included in  */
     /*  the query interval return segTree[node]  */
     if (begin >= left && end <= right)
         return segTree[node];

     /*  compute the minimum position in the  */
     /*  left and right part of the interval  */
     p1 = query(2 * node, begin, (begin + end) / 2, left, right);
     p2 = query(2 * node + 1, (begin + end) / 2 + 1, end, left, right);

     /*  return the expect value  */
     if (p1 == -1)
         return p2;
     if (p2 == -1)
         return p1;
     if (p1 <= p2)
         return  p1;
     return  p2;
 }

可见，这样的过程一定选出了尽量少的区间，它们相连后正好涵盖了整个[left,right]，没有重复也没有遗漏。同时，考虑到线段树上每层的节点最多会被选取2个，一共选取的节点数也是O(log n)的，因此查询的时间复杂度也是O(log n)。

线段树并不适合所有区间查询情况，它的使用条件是“相邻的区间的信息可以被合并成两个区间的并区间的信息”。即问题是可以被分解解决的。

(3)：区间或节点的更新 及 线段树的动态维护update （这是线段树核心价值所在，节点中的标记域可以解决N多种问题）

动态维护需要用到标记域，延迟标记等。

a:单节点更新

 void Updata(int node, int begin, int end, int ind, int add)/*单节点更新*/
 {

     if( begin == end )
     {
         segTree[node] += add;
         return ;
     }
     int m = ( left + right ) >> 1;
     if(ind <= m)
         Updata(node * 2,left, m, ind, add);
     else
         Updata(node * 2 + 1, m + 1, right, ind, add);
     /*回溯更新父节点*/
     segTree[node] = min(segTree[node * 2], segTree[node * 2 + 1]);

 }

b：区间更新（线段树中最有用的）

需要用到延迟标记，每个结点新增加一个标记，记录这个结点是否被进行了某种修改操作(这种修改操作会影响其子结点)。对于任意区间的修改，我们先按照查询的方式将其划分成线段树中的结点，然后修改这些结点的信息，并给这些结点标上代表这种修改操作的标记。在修改和查询的时候，如果我们到了一个结点p，并且决定考虑其子结点，那么我们就要看看结点p有没有标记，如果有，就要按照标记修改其子结点的信息，并且给子结点都标上相同的标记，同时消掉p的标记。（优点在于，不用将区间内的所有值都暴力更新，大大提高效率，因此区间更新是最优用的操作）

void Change来自dongxicheng.org

 void Change(node *p, int a, int b) /* 当前考察结点为p，修改区间为(a,b]*/

 {

   if (a <= p->Left && p->Right <= b)

   /* 如果当前结点的区间包含在修改区间内*/

   {

      ...... /* 修改当前结点的信息，并标上标记*/

      return;

   }

   Push_Down(p); /* 把当前结点的标记向下传递*/

   int mid = (p->Left + p->Right) / 2; /* 计算左右子结点的分隔点

   if (a < mid) Change(p->Lch, a, b); /* 和左孩子有交集，考察左子结点*/

   if (b > mid) Change(p->Rch, a, b); /* 和右孩子有交集，考察右子结点*/

   Update(p); /* 维护当前结点的信息（因为其子结点的信息可能有更改）*/

 }

3:主要应用

(1)：区间最值查询问题 （见模板1）

(2)：连续区间修改或者单节点更新的动态查询问题 （见模板2）

(3)：多维空间的动态查询 （见模板3）

二：典型模板

模板1：

RMQ，查询区间最值下标---min

 #include

 using namespace std;

 #define MAXN 100
 #define MAXIND 256 //线段树节点个数

 //构建线段树,目的:得到M数组.
 void build(int node, int b, int e, int M[], int A[])
 {
     if (b == e)
         M[node] = b; //只有一个元素,只有一个下标
     else
     {
         build(2 * node, b, (b + e) / 2, M, A);
         build(2 * node + 1, (b + e) / 2 + 1, e, M, A);

         if (A[M[2 * node]] <= A[M[2 * node + 1]])
             M[node] = M[2 * node];
         else
             M[node] = M[2 * node + 1];
     }
 }

 //找出区间 [i, j] 上的最小值的索引
 int query(int node, int b, int e, int M[], int A[], int i, int j)
 {
     int p1, p2;

     //查询区间和要求的区间没有交集
     if (i > e || j < b)
         return -1;

     if (b >= i && e <= j)
         return M[node];

     p1 = query(2 * node, b, (b + e) / 2, M, A, i, j);
     p2 = query(2 * node + 1, (b + e) / 2 + 1, e, M, A, i, j);

     //return the position where the overall
     //minimum is
     if (p1 == -1)
         return M[node] = p2;
     if (p2 == -1)
         return M[node] = p1;
     if (A[p1] <= A[p2])
         return M[node] = p1;
     return M[node] = p2;

 }


 int main()
 {
     int M[MAXIND]; //下标1起才有意义,否则不是二叉树,保存下标编号节点对应区间最小值的下标.
     memset(M,-1,sizeof(M));
     int a[]={3,4,5,7,2,1,0,3,4,5};
     build(1, 0, sizeof(a)/sizeof(a[0])-1, M, a);
     cout<sizeof(a)/sizeof(a[0])-1, M, a, 0, 5)<
     return 0;
 }

模板2：

连续区间修改或者单节点更新的动态查询问题 （此模板查询区间和）

 #include
 #include
 using namespace std;

 #define lson l , m , rt << 1
 #define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1
 #define root 1 , N , 1
 #define LL long long
 const int maxn = 111111;
 LL add[maxn<<2];
 LL sum[maxn<<2];
 void PushUp(int rt) {
     sum[rt] = sum[rt<<1] + sum[rt<<1|1];
 }
 void PushDown(int rt,int m) {
     if (add[rt]) {
         add[rt<<1] += add[rt];
         add[rt<<1|1] += add[rt];
         sum[rt<<1] += add[rt] * (m - (m >> 1));
         sum[rt<<1|1] += add[rt] * (m >> 1);
         add[rt] = 0;
     }
 }
 void build(int l,int r,int rt) {
     add[rt] = 0;
     if (l == r) {
         scanf("%lld",&sum[rt]);
         return ;
     }
     int m = (l + r) >> 1;
     build(lson);
     build(rson);
     PushUp(rt);
 }
 void update(int L,int R,int c,int l,int r,int rt) {
     if (L <= l && r <= R) {
         add[rt] += c;
         sum[rt] += (LL)c * (r - l + 1);
         return ;
     }
     PushDown(rt , r - l + 1);
     int m = (l + r) >> 1;
     if (L <= m) update(L , R , c , lson);
     if (m < R) update(L , R , c , rson);
     PushUp(rt);
 }
 LL query(int L,int R,int l,int r,int rt) {
     if (L <= l && r <= R) {
         return sum[rt];
     }
     PushDown(rt , r - l + 1);
     int m = (l + r) >> 1;
     LL ret = 0;
     if (L <= m) ret += query(L , R , lson);
     if (m < R) ret += query(L , R , rson);
     return ret;
 }
 int main() {
     int N , Q;
     scanf("%d%d",&N,&Q);
     build(root);
     while (Q --) {
         char op[2];
         int a , b , c;
         scanf("%s",op);
         if (op[0] == 'Q') {
             scanf("%d%d",&a,&b);
             printf("%lld\n",query(a , b ,root));
         } else {
             scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
             update(a , b , c , root);
         }
     }
     return 0;
 }

模板3：

多维空间的动态查询

三：练习题目

下面是hh线段树代码，典型练习哇~

在代码前先介绍一些我的线段树风格:

• maxn是题目给的最大区间,而节点数要开4倍,确切的来说节点数要开大于maxn的最小2^x的两倍
• lson和rson分辨表示结点的左儿子和右儿子,由于每次传参数的时候都固定是这几个变量,所以可以用预定于比较方便的表示
• 以前的写法是另外开两个个数组记录每个结点所表示的区间,其实这个区间不必保存,一边算一边传下去就行,只需要写函数的时候多两个参数,结合lson和rson的预定义可以很方便
• PushUP(int rt)是把当前结点的信息更新到父结点
• PushDown(int rt)是把当前结点的信息更新给儿子结点
• rt表示当前子树的根(root),也就是当前所在的结点

整理这些题目后我觉得线段树的题目整体上可以分成以下四个部分:

单点更新:最最基础的线段树,只更新叶子节点,然后把信息用PushUP(int r)这个函数更新上来

• hdu1166 敌兵布阵
  
• 题意:O(-1)
• 思路:O(-1)
  线段树功能:update:单点增减 query:区间求和

code:

 #include
 #include

 #define M 50005
 #define lson l,m,rt<<1
 #define rson m+1,r,rt<<1|1
 /*left,right,root,middle*/

 int sum[M<<2];

 inline void PushPlus(int rt)
 {
     sum[rt] = sum[rt<<1] + sum[rt<<1|1];
 }

 void Build(int l, int r, int rt)
 {
     if(l == r)
     {
         scanf("%d", &sum[rt]);
         return ;
     }
     int m = ( l + r )>>1;

     Build(lson);
     Build(rson);
     PushPlus(rt);
 }

 void Updata(int p, int add, int l, int r, int rt)
 {

     if( l == r )
     {
         sum[rt] += add;
         return ;
     }
     int m = ( l + r ) >> 1;
     if(p <= m)
         Updata(p, add, lson);
     else
         Updata(p, add, rson);

     PushPlus(rt);
 }

 int Query(int L,int R,int l,int r,int rt)
 {
     if( L <= l && r <= R )
     {
         return sum[rt];
     }
     int m = ( l + r ) >> 1;
     int ans=0;
     if(L<=m )
         ans+=Query(L,R,lson);
     if(R>m)
         ans+=Query(L,R,rson);

     return ans;
 }
 int main()
 {
     int T, n, a, b;
     scanf("%d",&T);
     for( int i = 1; i <= T; ++i )
     {
         printf("Case %d:\n",i);
         scanf("%d",&n);
         Build(1,n,1);

         char op[10];

         while( scanf("%s",op) &&op[0]!='E' )
         {

             scanf("%d %d", &a, &b);
             if(op[0] == 'Q')
                 printf("%d\n",Query(a,b,1,n,1));
             else if(op[0] == 'S')
                 Updata(a,-b,1,n,1);
             else
                 Updata(a,b,1,n,1);

         }
     }
     return 0;
 }

hdu1754 I Hate It
题意:O(-1)
思路:O(-1)
线段树功能:update:单点替换 query:区间最值

 #include
 #include
 using namespace std;

 #define lson l , m , rt << 1
 #define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1
 const int maxn = 222222;
 int MAX[maxn<<2];
 void PushUP(int rt) {
     MAX[rt] = max(MAX[rt<<1] , MAX[rt<<1|1]);
 }
 void build(int l,int r,int rt) {
     if (l == r) {
         scanf("%d",&MAX[rt]);
         return ;
     }
     int m = (l + r) >> 1;
     build(lson);
     build(rson);
     PushUP(rt);
 }
 void update(int p,int sc,int l,int r,int rt) {
     if (l == r) {
         MAX[rt] = sc;
         return ;
     }
     int m = (l + r) >> 1;
     if (p <= m) update(p , sc , lson);
     else update(p , sc , rson);
     PushUP(rt);
 }
 int query(int L,int R,int l,int r,int rt) {
     if (L <= l && r <= R) {
         return MAX[rt];
     }
     int m = (l + r) >> 1;
     int ret = 0;
     if (L <= m) ret = max(ret , query(L , R , lson));
     if (R > m) ret = max(ret , query(L , R , rson));
     return ret;
 }
 int main() {
     int n , m;
     while (~scanf("%d%d",&n,&m)) {
         build(1 , n , 1);
         while (m --) {
             char op[2];
             int a , b;
             scanf("%s%d%d",op,&a,&b);
             if (op[0] == 'Q') printf("%d\n",query(a , b , 1 , n , 1));
             else update(a , b , 1 , n , 1);
         }
     }
     return 0;
 }

hdu1394 Minimum Inversion Number
题意:求Inversion后的最小逆序数
思路:用O(nlogn)复杂度求出最初逆序数后,就可以用O(1)的复杂度分别递推出其他解
线段树功能:update:单点增减 query:区间求和

 #include
 #include
 using namespace std;

 #define lson l , m , rt << 1
 #define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1
 const int maxn = 5555;
 int sum[maxn<<2];
 void PushUP(int rt) {
     sum[rt] = sum[rt<<1] + sum[rt<<1|1];
 }
 void build(int l,int r,int rt) {
     sum[rt] = 0;
     if (l == r) return ;
     int m = (l + r) >> 1;
     build(lson);
     build(rson);
 }
 void update(int p,int l,int r,int rt) {
     if (l == r) {
         sum[rt] ++;
         return ;
     }
     int m = (l + r) >> 1;
     if (p <= m) update(p , lson);
     else update(p , rson);
     PushUP(rt);
 }
 int query(int L,int R,int l,int r,int rt) {
     if (L <= l && r <= R) {
         return sum[rt];
     }
     int m = (l + r) >> 1;
     int ret = 0;
     if (L <= m) ret += query(L , R , lson);
     if (R > m) ret += query(L , R , rson);
     return ret;
 }
 int x[maxn];
 int main() {
     int n;
     while (~scanf("%d",&n)) {
         build(0 , n - 1 , 1);
         int sum = 0;
         for (int i = 0 ; i < n ; i ++) {
             scanf("%d",&x[i]);
             sum += query(x[i] , n - 1 , 0 , n - 1 , 1);
             update(x[i] , 0 , n - 1 , 1);
         }
         int ret = sum;
         for (int i = 0 ; i < n ; i ++) {
             sum += n - x[i] - x[i] - 1;
             ret = min(ret , sum);
         }
         printf("%d\n",ret);
     }
     return 0;
 }

hdu2795 Billboard
题意:h*w的木板,放进一些1*L的物品,求每次放空间能容纳且最上边的位子
思路:每次找到最大值的位子,然后减去L
线段树功能:query:区间求最大值的位子(直接把update的操作在query里做了)

 #include
 #include
 using namespace std;

 #define lson l , m , rt << 1
 #define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1
 const int maxn = 222222;
 int h , w , n;
 int MAX[maxn<<2];
 void PushUP(int rt) {
     MAX[rt] = max(MAX[rt<<1] , MAX[rt<<1|1]);
 }
 void build(int l,int r,int rt) {
     MAX[rt] = w;
     if (l == r) return ;
     int m = (l + r) >> 1;
     build(lson);
     build(rson);
 }
 int query(int x,int l,int r,int rt) {
     if (l == r) {
         MAX[rt] -= x;
         return l;
     }
     int m = (l + r) >> 1;
     int ret = (MAX[rt<<1] >= x) ? query(x , lson) : query(x , rson);
     PushUP(rt);
     return ret;
 }
 int main() {
     while (~scanf("%d%d%d",&h,&w,&n)) {
         if (h > n) h = n;
         build(1 , h , 1);
         while (n --) {
             int x;
             scanf("%d",&x);
             if (MAX[1] < x) puts("-1");
             else printf("%d\n",query(x , 1 , h , 1));
         }
     }
     return 0;
 }

成段更新(通常这对初学者来说是一道坎),需要用到延迟标记(或者说懒惰标记),简单来说就是每次更新的时候不要更新到底,用延迟标记使得更新延迟到下次需要更新or询问到的时候

hdu1698 Just a Hook
题意:O(-1)
思路:O(-1)
线段树功能:update:成段替换 (由于只query一次总区间,所以可以直接输出1结点的信息)

 #include
 #include
 using namespace std;

 #define lson l , m , rt << 1
 #define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1
 const int maxn = 111111;
 int h , w , n;
 int col[maxn<<2];
 int sum[maxn<<2];
 void PushUp(int rt) {
     sum[rt] = sum[rt<<1] + sum[rt<<1|1];
 }
 void PushDown(int rt,int m) {
     if (col[rt]) {
         col[rt<<1] = col[rt<<1|1] = col[rt];
         sum[rt<<1] = (m - (m >> 1)) * col[rt];
         sum[rt<<1|1] = (m >> 1) * col[rt];
         col[rt] = 0;
     }
 }
 void build(int l,int r,int rt) {
     col[rt] = 0;
     sum[rt] = 1;
     if (l == r) return ;
     int m = (l + r) >> 1;
     build(lson);
     build(rson);
     PushUp(rt);
 }
 void update(int L,int R,int c,int l,int r,int rt) {
     if (L <= l && r <= R) {
         col[rt] = c;
         sum[rt] = c * (r - l + 1);
         return ;
     }
     PushDown(rt , r - l + 1);
     int m = (l + r) >> 1;
     if (L <= m) update(L , R , c , lson);
     if (R > m) update(L , R , c , rson);
     PushUp(rt);
 }
 int main() {
     int T , n , m;
     scanf("%d",&T);
     for (int cas = 1 ; cas <= T ; cas ++) {
         scanf("%d%d",&n,&m);
         build(1 , n , 1);
         while (m --) {
             int a , b , c;
             scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
             update(a , b , c , 1 , n , 1);
         }
         printf("Case %d: The total value of the hook is %d.\n",cas , sum[1]);
     }
     return 0;
 }

poj3468 A Simple Problem with Integers
题意:O(-1)
思路:O(-1)
线段树功能:update:成段增减 query:区间求和

 #include
 #include
 using namespace std;

 #define lson l , m , rt << 1
 #define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1
 #define LL long long
 const int maxn = 111111;
 LL add[maxn<<2];
 LL sum[maxn<<2];
 void PushUp(int rt) {
     sum[rt] = sum[rt<<1] + sum[rt<<1|1];
 }
 void PushDown(int rt,int m) {
     if (add[rt]) {
         add[rt<<1] += add[rt];
         add[rt<<1|1] += add[rt];
         sum[rt<<1] += add[rt] * (m - (m >> 1));
         sum[rt<<1|1] += add[rt] * (m >> 1);
         add[rt] = 0;
     }
 }
 void build(int l,int r,int rt) {
     add[rt] = 0;
     if (l == r) {
         scanf("%lld",&sum[rt]);
         return ;
     }
     int m = (l + r) >> 1;
     build(lson);
     build(rson);
     PushUp(rt);
 }
 void update(int L,int R,int c,int l,int r,int rt) {
     if (L <= l && r <= R) {
         add[rt] += c;
         sum[rt] += (LL)c * (r - l + 1);
         return ;
     }
     PushDown(rt , r - l + 1);
     int m = (l + r) >> 1;
     if (L <= m) update(L , R , c , lson);
     if (m < R) update(L , R , c , rson);
     PushUp(rt);
 }
 LL query(int L,int R,int l,int r,int rt) {
     if (L <= l && r <= R) {
         return sum[rt];
     }
     PushDown(rt , r - l + 1);
     int m = (l + r) >> 1;
     LL ret = 0;
     if (L <= m) ret += query(L , R , lson);
     if (m < R) ret += query(L , R , rson);
     return ret;
 }
 int main() {
     int N , Q;
     scanf("%d%d",&N,&Q);
     build(1 , N , 1);
     while (Q --) {
         char op[2];
         int a , b , c;
         scanf("%s",op);
         if (op[0] == 'Q') {
             scanf("%d%d",&a,&b);
             printf("%lld\n",query(a , b , 1 , N , 1));
         } else {
             scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
             update(a , b , c , 1 , N , 1);
         }
     }
     return 0;
 }

poj2528 Mayor’s posters
题意:在墙上贴海报,海报可以互相覆盖,问最后可以看见几张海报
思路:这题数据范围很大,直接搞超时+超内存,需要离散化:
离散化简单的来说就是只取我们需要的值来用,比如说区间[1000,2000],[1990,2012] 我们用不到[-∞,999][1001,1989][1991,1999][2001,2011][2013,+∞]这些值,所以我只需要1000,1990,2000,2012就够了,将其分别映射到0,1,2,3,在于复杂度就大大的降下来了
所以离散化要保存所有需要用到的值,排序后,分别映射到1~n,这样复杂度就会小很多很多
而这题的难点在于每个数字其实表示的是一个单位长度(并非一个点),这样普通的离散化会造成许多错误(包括我以前的代码,poj这题数据奇弱)
给出下面两个简单的例子应该能体现普通离散化的缺陷:
例子一:1-10 1-4 5-10
例子二:1-10 1-4 6-10
普通离散化后都变成了[1,4][1,2][3,4]
线段2覆盖了[1,2],线段3覆盖了[3,4],那么线段1是否被完全覆盖掉了呢?
例子一是完全被覆盖掉了,而例子二没有被覆盖

为了解决这种缺陷,我们可以在排序后的数组上加些处理,比如说[1,2,6,10]
如果相邻数字间距大于1的话,在其中加上任意一个数字,比如加成[1,2,3,6,7,10],然后再做线段树就好了.
线段树功能:update:成段替换 query:简单hash

 #include
 #include
 #include
 using namespace std;
 #define lson l , m , rt << 1
 #define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1

 const int maxn = 11111;
 bool hash[maxn];
 int li[maxn] , ri[maxn];
 int X[maxn*3];
 int col[maxn<<4];
 int cnt;

 void PushDown(int rt) {
     if (col[rt] != -1) {
         col[rt<<1] = col[rt<<1|1] = col[rt];
         col[rt] = -1;
     }
 }
 void update(int L,int R,int c,int l,int r,int rt) {
     if (L <= l && r <= R) {
         col[rt] = c;
         return ;
     }
     PushDown(rt);
     int m = (l + r) >> 1;
     if (L <= m) update(L , R , c , lson);
     if (m < R) update(L , R , c , rson);
 }
 void query(int l,int r,int rt) {
     if (col[rt] != -1) {
         if (!hash[col[rt]]) cnt ++;
         hash[ col[rt] ] = true;
         return ;
     }
     if (l == r) return ;
     int m = (l + r) >> 1;
     query(lson);
     query(rson);
 }
 int Bin(int key,int n,int X[]) {
     int l = 0 , r = n - 1;
     while (l <= r) {
         int m = (l + r) >> 1;
         if (X[m] == key) return m;
         if (X[m] < key) l = m + 1;
         else r = m - 1;
     }
     return -1;
 }
 int main() {
     int T , n;
     scanf("%d",&T);
     while (T --) {
         scanf("%d",&n);
         int nn = 0;
         for (int i = 0 ; i < n ; i ++) {
             scanf("%d%d",&li[i] , &ri[i]);
             X[nn++] = li[i];
             X[nn++] = ri[i];
         }
         sort(X , X + nn);
         int m = 1;
         for (int i = 1 ; i < nn; i ++) {
             if (X[i] != X[i-1]) X[m ++] = X[i];
         }
         for (int i = m - 1 ; i > 0 ; i --) {
             if (X[i] != X[i-1] + 1) X[m ++] = X[i-1] + 1;
         }
         sort(X , X + m);
         memset(col , -1 , sizeof(col));
         for (int i = 0 ; i < n ; i ++) {
             int l = Bin(li[i] , m , X);
             int r = Bin(ri[i] , m , X);
             update(l , r , i , 0 , m , 1);
         }
         cnt = 0;
         memset(hash , false , sizeof(hash));
         query(0 , m , 1);
         printf("%d\n",cnt);
     }
     return 0;
 }

poj3225 Help with Intervals
题意:区间操作,交,并,补等
思路:
我们一个一个操作来分析:(用0和1表示是否包含区间,-1表示该区间内既有包含又有不包含)
U:把区间[l,r]覆盖成1
I:把[-∞,l)(r,∞]覆盖成0
D:把区间[l,r]覆盖成0
C:把[-∞,l)(r,∞]覆盖成0 , 且[l,r]区间0/1互换
S:[l,r]区间0/1互换

成段覆盖的操作很简单,比较特殊的就是区间0/1互换这个操作,我们可以称之为异或操作
很明显我们可以知道这个性质:当一个区间被覆盖后,不管之前有没有异或标记都没有意义了
所以当一个节点得到覆盖标记时把异或标记清空
而当一个节点得到异或标记的时候,先判断覆盖标记,如果是0或1,直接改变一下覆盖标记,不然的话改变异或标记

开区间闭区间只要数字乘以2就可以处理(偶数表示端点,奇数表示两端点间的区间)
线段树功能:update:成段替换,区间异或 query:简单hash

 #include
 #include
 #include
 #include
 using namespace std;
 #define lson l , m , rt << 1
 #define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1

 const int maxn = 131072;
 bool hash[maxn+1];
 int cover[maxn<<2];
 int XOR[maxn<<2];
 void FXOR(int rt) {
     if (cover[rt] != -1) cover[rt] ^= 1;
     else XOR[rt] ^= 1;
 }
 void PushDown(int rt) {
     if (cover[rt] != -1) {
         cover[rt<<1] = cover[rt<<1|1] = cover[rt];
         XOR[rt<<1] = XOR[rt<<1|1] = 0;
         cover[rt] = -1;
     }
     if (XOR[rt]) {
         FXOR(rt<<1);
         FXOR(rt<<1|1);
         XOR[rt] = 0;
     }
 }
 void update(char op,int L,int R,int l,int r,int rt) {
     if (L <= l && r <= R) {
         if (op == 'U') {
             cover[rt] = 1;
             XOR[rt] = 0;
         } else if (op == 'D') {
             cover[rt] = 0;
             XOR[rt] = 0;
         } else if (op == 'C' || op == 'S') {
             FXOR(rt);
         }
         return ;
     }
     PushDown(rt);
     int m = (l + r) >> 1;
     if (L <= m) update(op , L , R , lson);
     else if (op == 'I' || op == 'C') {
         XOR[rt<<1] = cover[rt<<1] = 0;
     }
     if (m < R) update(op , L , R , rson);
     else if (op == 'I' || op == 'C') {
         XOR[rt<<1|1] = cover[rt<<1|1] = 0;
     }
 }
 void query(int l,int r,int rt) {
     if (cover[rt] == 1) {
         for (int it = l ; it <= r ; it ++) {
             hash[it] = true;
         }
         return ;
     } else if (cover[rt] == 0) return ;
     if (l == r) return ;
     PushDown(rt);
     int m = (l + r) >> 1;
     query(lson);
     query(rson);
 }
 int main() {
     cover[1] = XOR[1] = 0;
     char op , l , r;
     int a , b;
     while ( ~scanf("%c %c%d,%d%c\n",&op , &l , &a , &b , &r) ) {
         a <<= 1 , b <<= 1;
         if (l == '(') a ++;
         if (r == ')') b --;
         if (a > b) {
             if (op == 'C' || op == 'I') {
                 cover[1] = XOR[1] = 0;
             }
         } else update(op , a , b , 0 , maxn , 1);
     }
     query(0 , maxn , 1);
     bool flag = false;
     int s = -1 , e;
     for (int i = 0 ; i <= maxn ; i ++) {
         if (hash[i]) {
             if (s == -1) s = i;
             e = i;
         } else {
             if (s != -1) {
                 if (flag) printf(" ");
                 flag = true;
                 printf("%c%d,%d%c",s&1?'(':'[' , s>>1 , (e+1)>>1 , e&1?')':']');
                 s = -1;
             }
         }
     }
     if (!flag) printf("empty set");
     puts("");
     return 0;
 }

练习
poj1436 Horizontally Visible Segments
poj2991 Crane
Another LCIS
Bracket Sequence

区间合并

这类题目会询问区间中满足条件的连续最长区间,所以PushUp的时候需要对左右儿子的区间进行合并

poj3667 Hotel
题意:1 a:询问是不是有连续长度为a的空房间,有的话住进最左边
2 a b:将[a,a+b-1]的房间清空
思路:记录区间中最长的空房间
线段树操作:update:区间替换 query:询问满足条件的最左断点

 #include
 #include
 #include
 #include
 using namespace std;
 #define lson l , m , rt << 1
 #define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1

 const int maxn = 55555;
 int lsum[maxn<<2] , rsum[maxn<<2] , msum[maxn<<2];
 int cover[maxn<<2];

 void PushDown(int rt,int m) {
     if (cover[rt] != -1) {
         cover[rt<<1] = cover[rt<<1|1] = cover[rt];
         msum[rt<<1] = lsum[rt<<1] = rsum[rt<<1] = cover[rt] ? 0 : m - (m >> 1);
         msum[rt<<1|1] = lsum[rt<<1|1] = rsum[rt<<1|1] = cover[rt] ? 0 : (m >> 1);
         cover[rt] = -1;
     }
 }
 void PushUp(int rt,int m) {
     lsum[rt] = lsum[rt<<1];
     rsum[rt] = rsum[rt<<1|1];
     if (lsum[rt] == m - (m >> 1)) lsum[rt] += lsum[rt<<1|1];
     if (rsum[rt] == (m >> 1)) rsum[rt] += rsum[rt<<1];
     msum[rt] = max(lsum[rt<<1|1] + rsum[rt<<1] , max(msum[rt<<1] , msum[rt<<1|1]));
 }
 void build(int l,int r,int rt) {
     msum[rt] = lsum[rt] = rsum[rt] = r - l + 1;
     cover[rt] = -1;
     if (l == r) return ;
     int m = (l + r) >> 1;
     build(lson);
     build(rson);
 }
 void update(int L,int R,int c,int l,int r,int rt) {
     if (L <= l && r <= R) {
         msum[rt] = lsum[rt] = rsum[rt] = c ? 0 : r - l + 1;
         cover[rt] = c;
         return ;
     }
     PushDown(rt , r - l + 1);
     int m = (l + r) >> 1;
     if (L <= m) update(L , R , c , lson);
     if (m < R) update(L , R , c , rson);
     PushUp(rt , r - l + 1);
 }
 int query(int w,int l,int r,int rt) {
     if (l == r) return l;
     PushDown(rt , r - l + 1);
     int m = (l + r) >> 1;
     if (msum[rt<<1] >= w) return query(w , lson);
     else if (rsum[rt<<1] + lsum[rt<<1|1] >= w) return m - rsum[rt<<1] + 1;
     return query(w , rson);
 }
 int main() {
     int n , m;
     scanf("%d%d",&n,&m);
     build(1 , n , 1);
     while (m --) {
         int op , a , b;
         scanf("%d",&op);
         if (op == 1) {
             scanf("%d",&a);
             if (msum[1] < a) puts("0");
             else {
                 int p = query(a , 1 , n , 1);
                 printf("%d\n",p);
                 update(p , p + a - 1 , 1 , 1 , n , 1);
             }
         } else {
             scanf("%d%d",&a,&b);
             update(a , a + b - 1 , 0 , 1 , n , 1);
         }
     }
     return 0;
 }

练习
hdu3308 LCIS
hdu3397 Sequence operation
hdu2871 Memory Control
hdu1540 Tunnel Warfare
CF46-D Parking Lot

扫描线

这类题目需要将一些操作排序,然后从左到右用一根扫描线(当然是在我们脑子里)扫过去
最典型的就是矩形面积并,周长并等题

hdu1542 Atlantis
题意:矩形面积并
思路:浮点数先要离散化;然后把矩形分成两条边,上边和下边,对横轴建树,然后从下到上扫描上去,用cnt表示该区间下边比上边多几个,sum代表该区间内被覆盖的线段的长度总和
这里线段树的一个结点并非是线段的一个端点,而是该端点和下一个端点间的线段,所以题目中r+1,r-1的地方可以自己好好的琢磨一下

线段树操作:update:区间增减 query:直接取根节点的值

 #include
 #include
 #include
 #include
 using namespace std;
 #define lson l , m , rt << 1
 #define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1

 const int maxn = 2222;
 int cnt[maxn << 2];
 double sum[maxn << 2];
 double X[maxn];
 struct Seg {
     double h , l , r;
     int s;
     Seg(){}
     Seg(double a,double b,double c,int d) : l(a) , r(b) , h(c) , s(d) {}
     bool operator < (const Seg &cmp) const {
         return h < cmp.h;
     }
 }ss[maxn];
 void PushUp(int rt,int l,int r) {
     if (cnt[rt]) sum[rt] = X[r+1] - X[l];
     else if (l == r) sum[rt] = 0;
     else sum[rt] = sum[rt<<1] + sum[rt<<1|1];
 }
 void update(int L,int R,int c,int l,int r,int rt) {
     if (L <= l && r <= R) {
         cnt[rt] += c;
         PushUp(rt , l , r);
         return ;
     }
     int m = (l + r) >> 1;
     if (L <= m) update(L , R , c , lson);
     if (m < R) update(L , R , c , rson);
     PushUp(rt , l , r);
 }
 int Bin(double key,int n,double X[]) {
     int l = 0 , r = n - 1;
     while (l <= r) {
         int m = (l + r) >> 1;
         if (X[m] == key) return m;
         if (X[m] < key) l = m + 1;
         else r = m - 1;
     }
     return -1;
 }
 int main() {
     int n , cas = 1;
     while (~scanf("%d",&n) && n) {
         int m = 0;
         while (n --) {
             double a , b , c , d;
             scanf("%lf%lf%lf%lf",&a,&b,&c,&d);
             X[m] = a;
             ss[m++] = Seg(a , c , b , 1);
             X[m] = c;
             ss[m++] = Seg(a , c , d , -1);
         }
         sort(X , X + m);
         sort(ss , ss + m);
         int k = 1;
         for (int i = 1 ; i < m ; i ++) {
             if (X[i] != X[i-1]) X[k++] = X[i];
         }
         memset(cnt , 0 , sizeof(cnt));
         memset(sum , 0 , sizeof(sum));
         double ret = 0;
         for (int i = 0 ; i < m - 1 ; i ++) {
             int l = Bin(ss[i].l , k , X);
             int r = Bin(ss[i].r , k , X) - 1;
             if (l <= r) update(l , r , ss[i].s , 0 , k - 1, 1);
             ret += sum[1] * (ss[i+1].h - ss[i].h);
         }
         printf("Test case #%d\nTotal explored area: %.2lf\n\n",cas++ , ret);
     }
     return 0;
 }

hdu1828 Picture
题意:矩形周长并
思路:与面积不同的地方是还要记录竖的边有几个(numseg记录),并且当边界重合的时候需要合并(用lbd和rbd表示边界来辅助)
线段树操作:update:区间增减 query:直接取根节点的值

 #include
 #include
 #include
 #include
 using namespace std;
 #define lson l , m , rt << 1
 #define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1

 const int maxn = 22222;
 struct Seg{
     int l , r , h , s;
     Seg() {}
     Seg(int a,int b,int c,int d):l(a) , r(b) , h(c) , s(d) {}
     bool operator < (const Seg &cmp) const {
         if (h == cmp.h) return s > cmp.s;
         return h < cmp.h;
     }
 }ss[maxn];
 bool lbd[maxn<<2] , rbd[maxn<<2];
 int numseg[maxn<<2];
 int cnt[maxn<<2];
 int len[maxn<<2];
 void PushUP(int rt,int l,int r) {
     if (cnt[rt]) {
         lbd[rt] = rbd[rt] = 1;
         len[rt] = r - l + 1;
         numseg[rt] = 2;
     } else if (l == r) {
         len[rt] = numseg[rt] = lbd[rt] = rbd[rt] = 0;
     } else {
         lbd[rt] = lbd[rt<<1];
         rbd[rt] = rbd[rt<<1|1];
         len[rt] = len[rt<<1] + len[rt<<1|1];
         numseg[rt] = numseg[rt<<1] + numseg[rt<<1|1];
         if (lbd[rt<<1|1] && rbd[rt<<1]) numseg[rt] -= 2;//两条线重合
     }
 }
 void update(int L,int R,int c,int l,int r,int rt) {
     if (L <= l && r <= R) {
         cnt[rt] += c;
         PushUP(rt , l , r);
         return ;
     }
     int m = (l + r) >> 1;
     if (L <= m) update(L , R , c , lson);
     if (m < R) update(L , R , c , rson);
     PushUP(rt , l , r);
 }
 int main() {
     int n;
     while (~scanf("%d",&n)) {
         int m = 0;
         int lbd = 10000, rbd = -10000;
         for (int i = 0 ; i < n ; i ++) {
             int a , b , c , d;
             scanf("%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d);
             lbd = min(lbd , a);
             rbd = max(rbd , c);
             ss[m++] = Seg(a , c , b , 1);
             ss[m++] = Seg(a , c , d , -1);
         }
         sort(ss , ss + m);
         int ret = 0 , last = 0;
         for (int i = 0 ; i < m ; i ++) {
             if (ss[i].l < ss[i].r) update(ss[i].l , ss[i].r - 1 , ss[i].s , lbd , rbd - 1 , 1);
             ret += numseg[1] * (ss[i+1].h - ss[i].h);
             ret += abs(len[1] - last);
             last = len[1];
         }
         printf("%d\n",ret);
     }
     return 0;
 }