数据结构之树状数组

     树状数组（Binary Indexed Tree BIT）是一种特殊的数据结构，这种数据结构专门用来解决两种问题：给定一个数组array[ ]={a1,a2,a3...aN}（1）给定i，计算前i个数之和。（2）给定i和num,计算array[i]+num之后，对整个树状数组进行改变。这两种操作的时间复杂度在树状数组内均为（log(n)）。

    省去过多的长篇大论的理论介绍，通过一个简单的例子来对树状数组进行一个初步的了解和认识。假设有一个数组a[]={1,2,3,4},现将其以两个一组作为子节点，求得二者之和作为其父节点，重复该操作，直到最终只剩下一个父节点，可以得到以下该树：

                              

那么现在看着所构造出来的这棵树来想一个问题，怎样求数组中下标从i到j的和？其实我们可以换一个角度来思考求i到j的和可以转化为（（1到j的和）-（1到i-1的和））。仔细观察上面的树，不难发现在求解1到x的和过程中灰色部分的节点均不需要使用，因为不论在求和或修改树状数组两种操作中要使用这些右节点，那么其兄弟节点一定会被用到，这样的话直接使用其父节点即可（例如，求1到3的和。只需要将自上而下第二层的值为3的节点与第三层值为3的节点相加即可）。那么我们将这些冗余的节点删去，并且加以编号就可以得到一个树状数组，如下图所示：

                             

给各节点编号也有一种特殊的规律：节点编号二进制数为1结尾的对应原数组a中的区间长度为1（例如1（0001）和3（0011）对应的就是a中a[1]和a[3]的值），节点编号二进制数结尾只有连续一个0的对应原数组a中的区间长度为2（例如2（0010）对应a中a[1]和a[2]的和），节点编号二进制数结尾连续两个0的对应原数组a中的区间长度为4（例如4（0100）对应a中a[1]到a[4]的和）。

    在对树状数组进行了一定的了解之后，接下来就正式的去解决问题。

    （1）求前i项的和

     将树状数组下标i的值加到结果中，并且将i的二进制数的最小位的1减去（用i&（-i）完成该操作），重复此操作直到i变成0为止。

     以上述a数组举例，求前3项的和，先将树状数组下标为3的值加入结果中，此时结果为3，之后将3的二进制数0011的最后一个1减去，i变为2（0010），重复上面操作，此时结果为6，再将2的二进制数0010的最后一个1减去，此时i变为0，而结果也为最终结果6.实例代码如下：

//用于找出num的二进制数的最后一个1
private int dealBit(int num)
{
	return num&(-num);
}
//用于求前n个数的和
private int sum(int n)
{
	int sum = 0;
	while(n>0)
	{
		sum += bit[n];
		n -= dealBit(n);
	}
	return sum;
}

     （2）树状数组的更新

      将第i项的值加上val，并且将i中最小位的1加到i上，直到i大于树状数组的长度。

      例如,将树状数组下标为3的值加1，此时树状数组下标为3的值为4，之后将3（0011）中最小位的1加到3上得到4（0100），再将下标为4的值加1，此时下标为4的值为11.示例代码如下：

//当nums某一位加上一个数时，用于改变整个树状数组.
private void add(int index,int num)
{
	while(index<=bit.length-1)
	{
		bit[index] += num;
		index += dealBit(index);
	}
}