Python信号处理:自相关函数(对标MATLAB中的autocorr)

摘要:Python中,更确切地说是numpy、scipy、statsmodels这些库中都有计算相关的方法。但numpy和scipy中的correlate方法的定义和MATLAB中的不同,导致计算结果不太一样。看上去MATLAB和statsmodels里都是用的标准的统计中的定义——皮尔森相关系数,而numpy和scipy中使用的是非正式的信号处理中的定义,需要均值为0,且计算结果需要归一化,才会得到差不多的答案。

系列目录

  1. Python信号处理:快速傅里叶变换(FFT),短时傅里叶变换(STFT),窗函数,以及滤波
  2. Python信号处理:自相关函数(对标MATLAB中的autocorr)
  3. Python信号处理:波束形成及目标方位估计,CBF、MVDR
  4. Python信号处理:cvxpy工具包求解稀疏约束优化问题

目录

  1. 用于对比的三个函数及结论
  2. 非零均值序列的自相关函数
  3. 零均值序列的自相关函数
  4. 消除时滞的影响

1. 用于对比的三个函数及结论

  • numpy.correlate()
  • statsmodels.tsa.api.stattools.acf()
  • MATLAB中的autocorr()

结论:

  1. autocorr(series, 'NumLags', N-1)statsmodels.tsa.api.stattools.acf(series, nlags=N-1)是相同的。[不考虑其他的参数]。
  2. 输入序列为0均值时,使用numpy.correlate(series, series, mode='full'),并对计算结果取后一半,得到的结果和前面两个方法基本相同。
  3. 输入序列不是0均值时,用numpy.correlate可能是不对的,因为信号处理下的非正式定义需要零均值条件,算出来的结果也很奇怪。

2. 非零均值序列的自相关函数

选择输入序列为y=[2, 3, 9, 6, 9],N为5,分别使用上述三种方法得到自相关函数,得到的结果如下:
1.

acf = smt.stattools.acf(y, nlags=N-1)

array([ 1. , 0.06915888, -0.05794393, -0.2271028 , -0.28411215])

acf = np.correlate(y, y, mode='full')
acf = acf[N-1:]
acf = acf / acf[0]

array([1. , 0.66824645, 0.55450237, 0.18483412, 0.08530806])

acf = autocorr(y,'NumLags', N-1);

acf = 1.0000, 0.0692, -0.0579, -0.2271, -0.2841

可以看出,smt.stattools.acf(y, nlags=N-1)autocorr(y,'NumLags', N-1)的结果是一样的,但np.correlate(y, y, mode='full')的结果差距较大,且所有的相关系数都是正的。

3. 零均值序列的自相关函数

仍使用输入序列y=[2, 3, 9, 6, 9],N为5,但对其进行0均值化处理,得到的结果如下:

  1. 和上一节的1.是一样的
y = y - y.mean()
acf = smt.stattools.acf(y, nlags=N-1)

array([ 1. , 0.06915888, -0.05794393, -0.2271028 , -0.28411215])

  1. 和上一节的2.不同,但变得和1.、3.相同
y = y - y.mean()
acf = np.correlate(y, y, mode='full')
acf = acf[N-1:]
acf = acf / acf[0]

array([ 1. , 0.06915888, -0.05794393, -0.2271028 , -0.28411215])

  1. 和之前的3.是一样的
y = y - mean(y);
acf = autocorr(y,'NumLags', N-1);

acf = 1.0000, 0.0692, -0.0579, -0.2271, -0.2841

可以看出,对于零均值化的序列,三种方法的结果都是一样的。

4. 消除时滞的影响

当序列很长时,如下图,三种方法计算的自相关函数都会随着时间慢慢减小。在smt.stattools.acf中可以通过unbiased参数进行修正。对于np.correlate,可以用序列长度进行归一化,同样能起到消除时滞的效果。根据smt.stattools.acf文档的描述,两种做法好像是一样的。当然MATLAB中肯定也是可以这么操作的。
Python信号处理:自相关函数(对标MATLAB中的autocorr)_第1张图片
对无噪声的sin序列,分别计算自相关函数,看看时滞的影响,以及消除时滞后的效果。

# 左上,np.correlate,未消除时滞
acf1 = np.correlate(x, x, mode='full')
acf1 = acf1[N-1:]
acf1 = acf1 / acf1[0]
ax[0, 0].plot(t, acf1)

# 右上,np.correlate,消除时滞
acf1 = np.correlate(x, x, mode='full')
acf1 = acf1[N-1:]
acf1 = acf1 / np.arange(N, 0, -1)
acf1 = acf1 / acf1[0]
ax[0, 1].plot(t, acf1)

# 左下,smt.stattools.acf,未消除时滞
acf2 = smt.stattools.acf(x, nlags=N-1, unbiased=False)
ax[1, 0].plot(t, acf2)

# 右下,smt.stattools.acf,消除时滞
acf2 = smt.stattools.acf(x, nlags=N-1, unbiased=True)
ax[1, 1].plot(t, acf2)

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