导数

导数

导数描述了一个函数的变化率。
很显然，导数可能也是一个函数。
简单来说，一个函数的导数就是这个函数图像某时刻的斜率。

求导公式

求导公式很简单，令原函数为 f(n) f ( n ) ,那么
导数就是：

[f(n)]′=limΔx→0f(x+Δx)−f(x)Δx [ f ( n ) ] ′ = lim Δ x → 0 f ( x + Δ x ) − f ( x ) Δ x

常用函数的导数

[sinx]′=cosx [ sin ⁡ x ] ′ = cos ⁡ x

[cosx]′=−sinx [ cos ⁡ x ] ′ = − sin ⁡ x

[lnx]′=1x [ ln ⁡ x ] ′ = 1 x

[ex]′=ex [ e x ] ′ = e x

[xn]′=nxn−1 [ x n ] ′ = n x n − 1

两个函数之积求导

[f(x)∗g(x)]′=f(x)∗[g(x)]′=[f(x)]′∗g(x) [ f ( x ) ∗ g ( x ) ] ′ = f ( x ) ∗ [ g ( x ) ] ′ = [ f ( x ) ] ′ ∗ g ( x )

复合函数求导

复合函数求导就是把两个内外两层函数的导数分别求出来，再相乘即可。

例题1

令 f(x)=xlnx−x f ( x ) = x ln ⁡ x − x ，求 [f(x)]′ [ f ( x ) ] ′ .
解：

[f(x)]′=[xlnx−x]′=[x]′∗lnx+x∗[lnx]′−[x]′=lnx+x∗1x−1=lnx(1)(2)(3)(4) (1) [ f ( x ) ] ′ = [ x ln ⁡ x − x ] ′ (2) = [ x ] ′ ∗ ln ⁡ x + x ∗ [ ln ⁡ x ] ′ − [ x ] ′ (3) = ln ⁡ x + x ∗ 1 x − 1 (4) = ln ⁡ x

例题2

求相对论速度 1−v2c2−−−−−√ 1 − v 2 c 2 的导数。
解：
就是一个复合函数求导，
设 u=1−v2c2 u = 1 − v 2 c 2
外函数 f(u)=u−−√ f ( u ) = u
内函数 g(v)=1−v2c2 g ( v ) = 1 − v 2 c 2
设原函数为 F(x) F ( x )

[F(x)]′=[f(x)]′∗[g(x)]′=12(1−v2c2)−12∗(−2vc2)(38)(39) (38) [ F ( x ) ] ′ = [ f ( x ) ] ′ ∗ [ g ( x ) ] ′ (39) = 1 2 ( 1 − v 2 c 2 ) − 1 2 ∗ ( − 2 v c 2 )