矩阵求逆（c++）

简要过程介绍

方法的名称是“Gauss-Jordan (or reduced row) elimination method”。

设对角矩阵为D，设矩阵I为M矩阵的逆矩阵，则MI=D，DI=I。

主要过程为，摆一个相同大小的对角矩阵在旁边，将原矩阵变成对角矩阵的过程中，对对角矩阵施以相同的变化。原理为，对矩阵施以特定变化等同于对矩阵进行线性计算。

实现过程

第一步：

准备阶段：进行 行与行的变换，使矩阵对角位的数值非0。

过程如下：

按顺序我们先从第一行开始。

查看后面所有行中位于第一个位置的元素的绝对值，找到绝对值最大的那一行，将其与第一行位置交换。

如果绝对值最大为0，此矩阵不可逆，退出。

紧接着做第二行，依旧查看后续行中位于第二列的元素中绝对值，将绝对值最大的行与第二行交换。

代码为一个4*4的矩阵求逆（4*4矩阵在图形学中用途最广）

int i, j, k;
    Matrix44 s;
    Matrix44 t(*this);
    for (i = 0; i < 3; i++) {//找到下三角每列的绝对最大值
        int pivot = i;
        T pivotsize = t[i][i];
        if (pivotsize < 0)pivotsize = -pivotsize;
        for (j = i + 1; j < 4; j++) {
            T tmp = t[j][i];
            if (tmp < 0)tmp = -tmp;
            if (tmp > pivotsize) {
                pivot = j;
                pivotsize = tmp;
            }
        }
        if (pivotsize == 0) {
            //can not inverse
            return Matrix44();
        }
        if (pivot != i)//交换两行，使对角位的值为该列最大
        {
            for (j = 0; j < 4; j++) {
                T tmp;
                tmp = t[i][j];
                t[i][j] = t[pivot][j];
                t[pivot][j] = tmp;
                tmp = s[i][j];
                s[i][j] = s[pivot][j];
                s[pivot][j] = tmp;
            }
        }
    

第二步：

将下三角所有数值置为0。
对于交换后的每一行，从它的下一行开始进行操作。
对于第 i 行，那么从 i+1行开始，对于每一行，设定一个因子。
该行-（第i行*因子），使该行的第 i 列的值为 0 。
结果为，做完第 i 行，后续所有行的第 i 列都为 0 。

//将下三角值设定为0
        for (j = i + 1; j < 4; j++) {
            T f = t[j][i] / t[i][i];
            for (k = 0; k < 4; k++) {
                t[j][k] -= t[i][k] * f;
                s[j][k] -= s[i][k] * f;
            }
        }   
    }

第三步：

先判断现在是否有对角位为0 的情况，如果有，则证明矩阵不可逆。因为如果此时对角位为0，则该行一定可以被其他行表示。
再将对角位置为1：
每一行都乘以一个相同因子使对角位都为1。
（现在就可以做这一步，因为后续步骤并不会改变对角位了。）

后续需要把上三角都置为0，过程与第二步类似。

for (i = 3; i >= 0; i--) {
        T f;
        f = t[i][i];
        if (f == 0)return Matrix44();
        for (j = 0; j < 4; j++) {//将对角位置为1
            t[i][j] /= f;
            s[i][j] /= f;
        }
        for (j = 0; j < i; j++) {
            f = t[j][i];
            for (k = 0; k < 4; k++) {
                t[j][k] -= f*t[i][k];
                s[j][k] -= f*s[i][k];
            }
        }
    }

完整代码如下：

    int i, j, k;
    Matrix44 s;
    Matrix44 t(*this);
    for (i = 0; i < 3; i++) {//找到下三角每列的绝对最大值
        int pivot = i;
        T pivotsize = t[i][i];
        if (pivotsize < 0)pivotsize = -pivotsize;
        for (j = i + 1; j < 4; j++) {
            T tmp = t[j][i];
            if (tmp < 0)tmp = -tmp;
            if (tmp > pivotsize) {
                pivot = j;
                pivotsize = tmp;
            }
        }
        if (pivotsize == 0) {
            //can not inverse
            return Matrix44();
        }
        if (pivot != i)//交换两行，使对角位的值为该列最大
        {
            for (j = 0; j < 4; j++) {
                T tmp;
                tmp = t[i][j];
                t[i][j] = t[pivot][j];
                t[pivot][j] = tmp;
                tmp = s[i][j];
                s[i][j] = s[pivot][j];
                s[pivot][j] = tmp;
            }
        }
        //将下三角值设定为0
        for (j = i + 1; j < 4; j++) {
            T f = t[j][i] / t[i][i];
            for (k = 0; k < 4; k++) {
                t[j][k] -= t[i][k] * f;
                s[j][k] -= s[i][k] * f;
            }
        }   
    }
    
    for (i = 3; i >= 0; i--) {
        T f;
        f = t[i][i];
        if (f == 0)return Matrix44();
        for (j = 0; j < 4; j++) {//将对角位置为1
            t[i][j] /= f;
            s[i][j] /= f;
        }
        for (j = 0; j < i; j++) {
            f = t[j][i];
            for (k = 0; k < 4; k++) {
                t[j][k] -= f*t[i][k];
                s[j][k] -= f*s[i][k];
            }
        }
    }

    return s;
}

代码来源：

https://www.scratchapixel.com

注：这是一个图形学学习的网站