数学基础知识 ——（1）高等数学

一 、导数

1.1 导数定义：

导数和微分的概念

$$f^{\prime }\left(x_0\right)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}$$

或者：

$$f^{\prime }\left(x_0\right)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$$

1.2 左右导数导数的几何意义和物理意义

函数$f(x)$在$x_0$​处的左、右导数分别定义为：
左导数: $$f_{-}^{\prime }\left(x_0\right)=\underset{\Delta x\to 0^{-}}{\lim }\frac{f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}=\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }\frac{f(x)-f\left(x_0\right)}{x-x_0},\left(x=x_0+\Delta x\right)$$

右导数: $$f_{+}^{\prime }\left(x_0\right)=\underset{\Delta x\to 0^{+}}{\lim }\frac{f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}=\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }\frac{f(x)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$$

1.3 函数的可导性与连续性之间的关系

• Th1: 函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可微 $\iff f(x)$ 在 $x_0$ 处可导
• Th2: 若函数在点$x_0$ 处可导，则 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处连续, $,$ 反之则不成立。即函数连续不一定可导。
• Th3: $f^{\prime }\left(x_0\right)$ 存在$\iff$$f_{-}^{\prime }\left(x_0\right)=f_{+}^{\prime }\left(x_0\right)$
  
  如上图所示，函数连续但不可导。且x=0处左右导数不相等。

1.4 四则运算法则

设函数 $u=u(x),v=v(x)$ )在点 $x$ 可导则

• $(1)(u\pm v{)}^{\prime }=u^{\prime }\pm v^{\prime }$
• $(2)(uv{)}^{\prime }=u{v}^{\prime }+v{u}^{\prime }$
• $(3){\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{v{u}^{\prime }-u{v}^{\prime }}{v^2}(v\ne 0)$

1.5 基本导数与微分表

$y=c$ (常数)	$y^{\prime }=0$
$y=x^{\alpha }(\alpha \text{ 为实数 })$	$y^{\prime }=\alpha x^{\alpha -1}$
$y=a^x$	$y^{\prime }=a^x\ln a$ 特例：${\left(e^x\right)}^{\prime }=e^x$
$y={\log }_{a}x$	$y^{\prime }=\frac{1}{x\ln a}$ 特例：$(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$
$y=\sin x$	$y^{\prime }=\cos x$
$y=\cos x$	$y^{\prime }=-\sin x$
$y=\tan x$	$y^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}x}={\sec }^{2}x$
$y=\cot x$	$y^{\prime }=-\frac{1}{{\sin }^{2}x}=-{\csc }^{2}x$
$y=\sec x$	$y^{\prime }=\sec x\tan x$
$y=\csc x$	$y^{\prime }=-\csc x\cot x$
$y=\arcsin x$	$y^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$y=\arccos x$	$y^{\prime }=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$y=\arctan x$	$y^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}$
$y=\mathrm{arccot}x$	$y^{\prime }=-\frac{1}{1+x^2}$
$y=shx$	$y^{\prime }=chx$
$y=chx$	$y^{\prime }=shx$

1.6 复合函数，反函数，隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法

(1) 反函数的运算法则: 设 $y=f(x)$ 在点 $x$ 的某邻域内单调连续, 在点 $x$ 处可导且 $f^{\prime }(x)\ne 0,$ 则其反函数在点 $x$ 所对应的 $y$ 处可导, 并且有 $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{dx}$
(2) 复合函数的运算法则：若 $\mu =\phi (x)$ 在点 $x$ 可导,而 $y=f(\mu )$ 在对应点 $\mu (\mu =\phi (x))$ 可导,则复合函数 $y=f(\phi (x))$ 在点 $x$ 可导,且 $y^{\prime }=f^{\prime }(\mu )\cdot {\phi }^{\prime }(x)$
(3) 隐函数导数 $\frac{dy}{dx}$ 的求法一般有三种方法：

• 1)方程两边对x求导，要记住y是x的函数, 则y的函数是x的复合函数.例如 $\frac{1}{y},y^2,\ln y,e^y$ 等均是 $x$ 的复合函数. 对 $x$ 求导应按复合函数连锁法则做.

• 2 ) 公式法.由 $F(x,y)=0$ 知 $\frac{dy}{dx}=-\frac{F^{\prime }x(x,y)}{F^{\prime }y(x,y)}$ 其中, $F_x^{\prime }(x,y),F_y^{\prime }(x,y)$ 分别表示 $F(x,y)$ 对 $x$ 和 $y$ 的偏导数

• 3)利用微分形式不变性，参考复合函数求导

1.7 常用高阶导数公式

${\left(a^x\right)}^{(n)}=a^x{\ln }^{n}a(a>0){\left(e^x\right)}^{(n)}=e^x$
$(\sin kx{)}^{(n)}=k^n\sin \left(kx+n\cdot \frac{\pi }{2}\right)$
$(\cos kx{)}^{(n)}=k^n\cos \left(kx+n\cdot \frac{\pi }{2}\right)$
${\left(x^m\right)}^{(n)}=m(m-1)\cdots (m-n+1)x^{m-n}$
$(\ln x{)}^{(n)}=(-1{)}^{(n-1)}\frac{(n-1)!}{x^n}$
莱布尼兹公式：若 $u(x),v(x)$ 均 $n$ 阶可导, 则 $(uv{)}^{(n)}={\sum }_{i=0}^n{c}_n^i{u}^{(i)}{v}^{(n-i)},$ 其中 $u^{(0)}=u,v^{(0)}=v$

二、 微分中值定理 $f^{\prime }\left(x_0\right)=0$

微分中值定理是一系列中值定理总称

2.1 费马定理

若函数 $f(x)$ 满足条件：
(1) 函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某邻域内有定义, 并且在此邻域内恒有 $f(x)\le f\left(x_0\right)$ 或 $f(x)\ge f\left(x_0\right)$
(2) $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导,则有 $f^{\prime }\left(x_0\right)=0$

2.2 罗尔定理

设函数 $f(x)$ 满足条件：
(1)在闭区间[ $(a,b]$ 上连续;
(2)在 $(a,b)$ 内可导;
(3) $f(a)=f(b)$
则在 $(a,b)$ 内一存在个$\xi$ 使 $f^{\prime }(\xi )=0$

罗尔定理其实就是拉格朗日中值定理的一种特例

2.3 拉格朗日中值定理

设函数 $f(x)$ 满足条件：
(1)在 $[a,b]$ 上连续
(2)在 $(a,b)$ 内可导;
则在 $(a,b)$ 内一存在个$\xi$ 使 $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{\prime }(\xi )$
这个定理的几何意义就是，至少存在一点的切线与端点的连线平行；物理意义是，至少存在一点的速度与平均速度相等

2.4 柯西中值定理

设函数 $f(x),g(x)$ 满足条件:
(1) 在$[a,b]$ 上连续;
(2) 在 $(a,b)$ 内可导且$f^{\prime }(x),g^{\prime }(x)$ 均存在, 且 $g^{\prime }(x)\ne 0$

则在 $(a,b)$ 内存在一个 $\xi$使 $\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f^{\prime }(\xi )}{g^{\prime }(\xi )}$

几何意义： https://zhuanlan.zhihu.com/p/47436090

三、 极限

3.1 洛必达法则

法则 I ( $\frac{0}{0}$ 型):设函数 $f(x),g(x)$ 满足条件:
$$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=0,\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)=0$$
$f(x),g(x)\text{ 在 }{x}_0\text{ 的邻域内可导, }\text{ (在 }{x}_0\text{ 处可除外) })$ 且 $$g^{\prime }(x)\ne 0;\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$$存在（或等于$\infty$）

则: $$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$$

法则 $I^{\prime }(\frac{0}{0})$型 设函数$f(x),g(x)$满足条件：
$$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=0,\underset{x\to \infty }{\lim }g(x)=0$$
存在一个$X>0$,当$|x|>X$时,$f(x),g(x)$ 可导,且$$g^{\prime }(x)\ne 0;\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$$存在(或等于$\infty$)。

则：$$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$$

法则$\Pi \left(\frac{\infty }{\infty }\right)$型设函数$f(x),g(x)$满足条件：
$$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=\infty ,\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)=\infty$$.
$f(x),g(x)$在$x_0$​ 的邻域内可导(在$x_0$​处可除外)且$$g^{\prime }(x)\ne 0;\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$$存在(或等于$\infty$)。

则：$$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$$ .

同理法则${\Pi }^{\prime }\left(\frac{\infty }{\infty }\right)$型可以仿照法则$I^{\prime }(\frac{0}{0})$型写出

四、 泰勒公式

4.1 一般形式

设函数$f(x)$在点$x_0$​处的某邻域内具有$n+1$阶导数，则对该邻域内异于$x_0$的任意点$x$，在$x_0$​与$x$之间至少存在一个$\xi$，使得：
$f(x)=f\left(x_0\right)+f^{\prime }\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+\frac{1}{2!}{f}^{\prime \prime }\left(x_0\right){\left(x-x_0\right)}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}\left(x_0\right)}{n!}{\left(x-x_0\right)}^n+R_n(x)$

其中$R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}{\left(x-x_0\right)}^{n+1}$
称为$f(x)$在点$x_0$​处的$n$阶泰勒余项。

4.2 麦克劳林公式

令$x_0=0$，则$n$阶泰勒公式变为麦克劳林公式为：
$f(x)=f(0)+f^{\prime }(0)x+\frac{1}{2!}{f}^{\prime \prime }(0)x^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(0)}{n!}{x}^n+R_n(x)$

其中 $R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}{x}^{n+1}$，$\xi 在0与x$之间.

4.3 常用五种函数在$x_0=0$处的泰勒公式

（1）$e^x=1+x+\frac{1}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{1}{n!}{x}^n+\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}{e}^{\xi }$
或 $=1+x+\frac{1}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{1}{n!}{x}^n+o\left(x^n\right)$
（2）$\sin x=x-\frac{1}{3!}{x}^3+\cdots +\frac{x^n}{n!}\sin \frac{n\pi }{2}+\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}\sin \left(\xi +\frac{n+1}{2}\pi \right)$
或 $=x-\frac{1}{3!}{x}^3+\cdots +\frac{x^n}{n!}\sin \frac{n\pi }{2}+o\left(x^n\right)$
(3) $\cos x=1-\frac{1}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{x^n}{n!}\cos \frac{n\pi }{2}+\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}\cos \left(\xi +\frac{n+1}{2}\pi \right)$
或 $=1-\frac{1}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{x^n}{n!}\cos \frac{n\pi }{2}+o\left(x^n\right)$
(4) $\ln (1+x)=x-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{3}{x}^3-\cdots +(-1{)}^{n-1}\frac{x^n}{n}+\frac{(-1{)}^n{x}^{n+1}}{(n+1)(1+\xi {)}^{n+1}}$
或 $=x-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{3}{x}^3-\cdots +(-1{)}^{n-1}\frac{x^n}{n}+o\left(x^n\right)$
(5) $(1+x{)}^m=1+mx+\frac{m(m-1)}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{m(m-1)\cdots (m-n+1)}{n!}{x}^n+\frac{m(m-1)\cdots (m-n+1)}{(n+1)!}{x}^{n+1}(1+\xi {)}^{m-n-1}$
或 $(1+x{)}^m=1+mx+\frac{m(m-1)}{2!}{x}^2+\cdots ,+\frac{m(m-1)\cdots (m-n+1)}{n!}{x}^n+o\left(x^n\right)$

五、曲线相关公式

5.1 平面曲线的切线和法线公式

切线方程 $:y-y_0=f^{\prime }\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)$

法线方程: $y-y_0=-\frac{1}{f^{\prime }\left(x_0\right)}\left(x-x_0\right),f^{\prime }\left(x_0\right)\ne 0$

5.2 渐近线的求法

水平渐近线
若$$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=b,$$
或 $$\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=b$$
则$y=b$称为函数$y=f(x)$的水平渐近线。

铅直渐近线
若$$\underset{x\to x_0^{-}}{\lim },f(x)=\infty$$，或$$\underset{x\to x_0^{+}}{\lim },f(x)=\infty$$
则$x=x_0$称为$y=f(x)$的铅直渐近线。

斜渐近线
若 $$a=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{f(x)}{x},b=\underset{x\to \infty }{\lim }[f(x)-ax]$$
则$y=ax+b$称为$y=f(x)$的斜渐近线

5.3 求曲线长度（弧微分）

$dS=\sqrt{1+y^{\prime 2}}dx$

5.4 曲率

曲线$y=f(x)$在点$(x,y)$处的曲率$k=\frac{|y^{\prime \prime }|}{{\left(1+y^{\prime 2}\right)}^{\frac{3}{2}}}$.
对于参数方程

5.5 曲率半径

曲线在点M处的曲率$k(k\ne 0)$与曲线在点M处的曲率半径$\rho$有如下关系：$\rho =\frac{1}{k}$。

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