[笔记]带精英策略的非支配排序的遗传算法NSGAII

啊要出分数线了好紧张. 赶紧复习复习以前学的东西_(:з」∠)_

竟然写了大半天, 全都忘光了, 怕不是要凉 (/ﾟДﾟ)/

遗传算法(Genetic Algorithm)

此处使用二进制编码法形成染色体.

种群初始化: 随机将染色体的某些 DNA 置 1, 进行 M 次, 形成 M 个不重复的个体组成第一代种群.

适应度评价: 对每个个体运行适应度评价函数, 区分群体中个体好坏. 并按照一定策略选择出部分适应度高的个体, 作为下一代的父代.

交叉与变异: 对挑选出的父代, 每次随机选择两个染色体, 在一定概率下将两者的某些 DNA 进行交换, 形成两个新的个体, 即为染色体的交叉; 同时上述新产生的个体有一定概率发生染色体变异, 即对染色体的某些位取反. 最后形成新的子代. 遗传算法就是上述步骤的反复.

非支配排序遗传算法(Non-Dominated Sorting Genetic Algorithm, NSGA)

有时候我们的优化目标不止一个, 比如买菜时同时要求菜越新鲜越好, 且单价越便宜越好. 这便是多目标优化问题. 面对此类问题时, 无法用 1 个指标衡量染色体的好坏, 在判断两个染色体孰优孰劣时将会产生困难. NSGA 解决多目标问题和普通 GA 的主要区别就是在选择算子执行之前对个体关系的分层, 而选择算子, 交叉算子, 变异算子没有区别.

Pareto 支配关系

Pareto 最优解给出了多目标问题的判别的方法.

对于最小化多目标问题, n 个目标分量 $f_i$ $(i=1,...,n)$ 组成的向量 $\overline{f}(\overline{X})=(f_1(\overline{X}),f_2(\overline{X}),...,f_n(\overline{X}))$, 给定两个决策变量 ${\overline{X}}_u,{\overline{X}}_v\in U$:

• 当且仅当 $\forall i\in \{1,...,n\}$ 时, 都有 $f_i({\overline{X}}_u)<f_i({\overline{X}}_v)$, 则 ${\overline{X}}_u$ 支配 ${\overline{X}}_v$.
• 当且仅当 $\forall i\in \{1,...,n\}$ 时, 都有 $f_i({\overline{X}}_u)⩽f_i({\overline{X}}_v)$, 且至少存在一个 $j\in \{1,...,n\}$ 则 ${\overline{X}}_u$ 弱支配 ${\overline{X}}_v$.
• 当且仅当 $\exists i\in \{1,...,n\}$, 使 $f_i({\overline{X}}_u)<f_i({\overline{X}}_v)$, 且 $\exists j\in \{1,...,n\}$, 使 $f_j({\overline{X}}_u)>f_j({\overline{X}}_v)$, 则 ${\overline{X}}_u$ 和 ${\overline{X}}_v$ 互不支配.

若 ${\overline{X}}_u$ 为 Pareto 最优解, 则不存在 ${\overline{X}}_v\in U$ 支配 ${\overline{X}}_u$.

非支配排序

对于互不支配的染色体, 我们称这些染色体处于同一层. 则所有的染色体可以被划分到若干层. 非支配排序就是将染色体分层的排序算法, 分得的层称为第一级非支配层, 第二级非支配层… 其中第一级非支配层处于 Pareto 前沿(Pareto Front).

非支配排序步骤如下:

• (1) 设 i = 1;
• (2) 对所有的 j = 1, 2, …, N(i != j), 基于适应度函数比较个体 xi, xj 之间的支配关系;
• (3) 若不存在任何一个个体 xj 优于 xi, 则标记 xi 为非支配个体;
• (4) 令 j = j + 1, 转到(1), 重复直至找到所有非支配个体.

上述步骤将得到第一级非支配层, 过滤第一层所有个体后再次运行非支配排序, 即可得到第二级非支配层.

虚拟适应度(略)

为了算法更快地收敛, 虚拟适应度越大(层数越低)的个体应该有更多机会进入下一代. 但同时, 我们期望的 Pareto 最优解集应该是均匀分布的(而不是都挤在一个或几个点附近), 因此还要保证当前非支配层上的个体具有多样性。NSGA 中引入了基于拥挤策略的小生境(NIChe)技术, 对每个个体计算共享适应度.

带精英策略的非支配排序遗传算法(NSGA-II)

NSGA-II 是 NSGA 的改进. NSGA-II 相对于 NSGA,

1. 提出了快速非支配排序算子, 将非支配排序从 $O(M{N}^3)$ 优化到了 $O(M{N}^2)$ (M为目标数, N 为种群大小);
2. 提出了拥挤距离算子;
3. 提出了精英策略选择算子.

NSGA-II 流程图(CSDN 可能有 bug无法正常显示)

Created with Raphaël 2.2.0 开始 随机生成第一代种群 计算每个个体的所有目标 快速非支配排序 拥挤距离计算 运行代数大于最大代数? 输出 Pareto 前沿 结束 选择优秀个体组成新的父代 选择, 交叉, 变异 父代与子代合并 yes no

快速支配排序算子

• (1) 对种群 $P$ 中的每个个体 $p$, 计算 $p$ 在种群 $P$ 中支配的个体数 $n_p$, 并将这些被 $p$ 支配的个体存入 $S_p$ 中(每个个体都要比较一次, 共比较 $\frac{N(N-1))}{2}$ 次, 每次比较要遍历 $M$ 个目标, 时间复杂度 $O(M{N}^2)$);
• (2) $layer=1$;
• (3) 找出所有 $n_p=0$ 的个体, 保存在数组 $F_{layer}$ 中;
• (4) 对于 $F_{layer}$ 中的每个个体 $p$ 的支配集 $S_p$: 遍历 $S_p$, 对 $S_p$ 中每个个体 $l$, 执行 $n_l=n_l-1$;
• (5) $layer=layer+1$, 重复(3).

拥挤距离算子

• (1) 对每个个体 $p$ 令拥挤距离 $d_p=0,p=1,2,...,N$
• (2) 对 $M$ 个目标的每个目标函数 $f_m$:
  • 1) 根据目标 $f_m$ 的数值大小, 对每个个体排序;
  • 2) 对每个个体 $p$, 计算 $d_p=d_p+(f_m(p+1)-f_m(p-1))$
    (其中第一个和最后一个个体拥挤距离设为无穷 $d_1=d_N=\infty$)

选择时优先选择拥挤距离 $d$ 大的.

精英策略选择算子

即保留父代优良个体直接进入子代, 以防止 Pareto 前沿的解丢失. 具体操作就可以直接把父代子代合并到一起进行非支配排序.