欧拉函数小结

欧拉函数

1、定义 
在数论中，对于正整数n，欧拉函数就是小于n的数中与n互质的数的数目。 
此函数以其首名研究者欧拉命名(Ruler’so totient function)，它又称为Euler’s totient function、φ函数、欧拉商数等。

例如φ(8)=4，因为1,3,5,7均和8互质。 
φ(24)=8，因为1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23均和 24 互质。

通式： 
 
其中p1, p2……pn为x的所有质因数，x是不为0的整数。 
φ(1)=1（唯一和1互质的数就是1）。

注意： 
每种质因数只一个。 
比如12=2*2*3那么φ（12）=12 * （1-1/2）* (1-1/3)=4

2、基本性质 
①若N是质数p的k次幂，φ(N)=p^k-p^(k-1)=(p-1)p^(k-1)，因为除了p的倍数外，其他数都跟N互质 
②当N是质数时，φ(N) = N-1 
③除了N=2,φ(N)都是偶数 
④小于N且与N互质的所有数的和是φ(n)*n/2 
⑤欧拉函数是积性函数——若m,n互质，φ(m*n)=φ(m)*φ(n) 
⑥当N为奇数时，φ(2*N)=φ(N)

HDU 2824 The Euler function

代码：

#include 
#include 
#include 
using namespace std;

const int maxn=105;
int phi[maxn];
void Euler1()
{
    for(int i=1; i1)
        ans=ans/n*(n-1);
    return ans;
}
//类似于筛选法
void Euler3(int n)
{
    for(int i=2; i<=n; i++)
        phi[i]=0;
    phi[1]=1;
    for(int i=2; i<=n; i++)
    {
        if(!phi[i])
        {
            for(int j=i; j<=n; j+=i)
            {
                if(!phi[j]) phi[j]=j;
                phi[j]=phi[j]/i*(i-1);
            }
        }
    }
}
int main()
{
    int n;
    Euler3(maxn);
    freopen("Euler3.txt","w",stdout);
    for(int i=2; i<=100; i++)
        cout<