矩阵快速幂+费马小定理---牛客寒假集训营1-u's的影响力+M斐波那契数列 HDU - 4549

矩阵快速幂+费马小定理—牛客寒假集训营1-u’s的影响力+M斐波那契数列 HDU - 4549

题目：

题意：

$给定表达式f(i)=f(i-1)\ast f(i-2)\ast a^b(i>2)，现输入n、f(1)、f(2)、a、b,求f(n)$

题解：

$矩阵快速幂+整数快速幂+费马小定理,算法时间复杂度O(logn)$

$整个算法分为两个部分，$
$一、矩阵快速幂计算指数。$
$二、整数快速幂+费马小定理计算最终结果。$

$先写几项找找递推的规律:$

$f(1)=x^1{y}^0{a}^0,$
$f(2)=x^0{y}^1{a}^0,$
$f(3)=x^1{y}^1{a}^b,$
$f(4)=x^1{y}^2{a}^{2b},$
$f(5)=x^2{y}^3{a}^{4b},$
$f(6)=x^3{y}^5{a}^{7b},$
$......$

$我们发现，从第三项起，每一项指数都是前两项对应的指数之和$
$因为原递推式是前两项之积，那么转化到指数上来就是指数之和$
$设斐波那契数列F(n)=F(n-1)+F(n-2)(n>=3)，$

①、
$对x和y而言，它们在f(1)和f(2)中的指数分别是\{1,0\}和\{0,1\}，$
$那么在第n项f(n)中，x和y的指数分别对应为F_x(n)和F_y(n)$

$F_x(1)=1,F_x(2)=0,F_x(n)=F_x(n-1)+F_x(n-2)(n>=3)$
$F_y(1)=0,F_y(2)=1,F_y(n)=F_y(n-1)+F_y(n-2)(n>=3)$

$斐波那契数列的变换矩阵是：$

$M=\left|\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 1\end{array}\right|,则\left|\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 1\end{array}\right|\cdot \left|\begin{array}{c}f(i-2)\\ f(i-1)\end{array}\right|=\left|\begin{array}{c}f(i-1)\\ f(i-1)+f(i-2)\end{array}\right|=\left|\begin{array}{c}f(i-1)\\ f(i)\end{array}\right|$

②、
$对a而言，每一项的指数都是前两项指数之和再加上1，$
$F_a(1)=0,F_a(2)=0,F_x(n)=F_a(n-1)+F_a(n-2)+1(n>=3)$
$于是可以设关系矩阵:$

$A=\left|\begin{array}{c}f(i-2)\\ f(i-1)\\ 1\end{array}\right|$

$进而得到矩阵a的指数的变换矩阵:$

$Ma=\left|\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right|,那么\left|\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right|\cdot \left|\begin{array}{c}f(i-2)\\ f(i-1)\\ 1\end{array}\right|=\left|\begin{array}{c}f(i-1)\\ f(i-2)+f(i-1)+1\\ 1\end{array}\right|=\left|\begin{array}{c}f(i-1)\\ f(i)\\ 1\end{array}\right|$

③、
$到这里，f(n)=x^{F_x(n)}\cdot y^{F_y(n)}\cdot a^{F_a(n)\cdot b},就可以计算出来了。$
$但是考虑到取模问题，mod=1e9+7是质数，$
$根据费马小定理，若p与q互质，则p^{q-1}\equiv 1(modq)$
$若p与1e9+7互质(a不是1e9+7的倍数)，则p^{1e9+6}\equiv 1(mod1e9+7)$
$因此在计算快速幂时，可将指数对mod-1=1e9+6取模来优化计算$

代码：

#include
#include
#include
#include
#define ll unsigned long long
using namespace std;
const ll mod=1e9+7;
struct matrix
{
    ll m[3][3];
    matrix()
    {
		memset(m, 0, sizeof(m));
	}
};
ll n,a,b;
ll f[3];//初始序列f(1)=x,f(2)=y
ll feb[2]={0,1};//斐波那契数列前两项
ll feb_a[3]={0,0,1};//a的初始序列

matrix mul(matrix a,matrix b,int r,ll mo)//r是矩阵的阶数
{
    matrix c;
    for(int k=0;k<r;k++)
        for(int i=0;i<r;i++)
            if(a.m[i][k])
                for(int j=0;j<r;j++)
                    c.m[i][j]=(c.m[i][j]+a.m[i][k]*b.m[k][j]%mo+mo)%mo;
    return c;
}

matrix pow_matrix(matrix M,ll m,int r,ll mo)//
{
    matrix E;
    for(int i=0;i<r;i++) E.m[i][i]=1;

    while(m)
    {
        if(m&1) E=mul(E,M,r,mo);
        M=mul(M,M,r,mo);
        m>>=1;
    }
    return E;
}

ll quick_pow(ll p,ll q)
{
    ll ans=1;
    while(q)
    {
        if(q&1) ans=(ans*p)%mod;
        p=(p*p)%mod;
        q>>=1;
    }
    return ans;
}

int main()
{
    while(~scanf("%llu%lld%llu%llu%llu",&n,&f[1],&f[2],&a,&b))
    {
        if(n==1) {printf("%llu\n",f[1]%mod);continue;}
        if(n==2) {printf("%llu\n",f[2]%mod);continue;}
        if(f[1]%mod==0||f[2]%mod==0||a%mod==0) {cout<<0<<endl;continue;}///这里不能漏特判，因为快速幂未处理底数未0的情况

        f[1]%=mod;
        f[2]%=mod;
        a%=mod;
        b%=(mod-1);

        matrix M;
        M.m[0][1]=M.m[1][0]=M.m[1][1]=1;
        matrix P=pow_matrix(M,n-2,2,mod-1);//2阶矩阵M^n-2，算x,y的幂次
        ll tmp1=(P.m[0][0]*feb[0]%(mod-1)+P.m[0][1]*feb[1]%(mod-1))%(mod-1);//矩阵相乘得到斐波那契数列,f[1]的指数
        ll tmp2=(P.m[1][0]*feb[0]%(mod-1)+P.m[1][1]*feb[1]%(mod-1))%(mod-1);//f[2]的指数

        matrix Ma;
        Ma.m[0][1]=Ma.m[1][0]=Ma.m[1][1]=Ma.m[1][2]=Ma.m[2][2]=1;
        matrix Pa=pow_matrix(Ma,n-2,3,mod-1);//3阶矩阵Ma^n-2，算a的幂次
        ll tmp3=(( (Pa.m[1][0]*feb_a[0])%(mod-1) + (Pa.m[1][1]*feb_a[1])%(mod-1) + (Pa.m[1][2]*feb_a[2])%(mod-1) )%(mod-1))*b%(mod-1);

        ll ans= quick_pow(f[1],tmp1)%mod;///哇...这里ans必须分开计算，否则爆ull，在这里卡了一下午(cao)
           ans= ans*quick_pow(f[2],tmp2)%mod;
           ans= ans*quick_pow(a,tmp3)%mod;
        printf("%llu\n",ans);
    }
    return 0;
}

///—HDU - 4549

HDU有一道类似但是更简单的一道题：M斐波那契数列 HDU - 4549

记下来做个对比

题目：
M斐波那契数列F[n]是一种整数数列，它的定义如下：

F[0] = a
F[1] = b
F[n] = F[n-1] * F[n-2] ( n > 1 )

现在给出a, b, n，你能求出F[n]的值吗？
Input
输入包含多组测试数据；
每组数据占一行，包含3个整数a, b, n（ 0 <= a, b, n <= 10^9 ）
Output
对每组测试数据请输出一个整数F[n]，由于F[n]可能很大，你只需输出F[n]对1000000007取模后的值即可，每组数据输出一行。
Sample Input
0 1 0
6 10 2
Sample Output
0
60

题解：
牛客的题应该就是改编了这题，同样的模板，唯一的区别就是HDU这道题是从第0项开始，修改输入即可。

代码：

#include
#include
#include
#define ll unsigned long long
using namespace std;
const ll mod=1e9+7;
struct matrix
{
    ll m[3][3];
    matrix()
    {
		memset(m, 0, sizeof(m));
	}
};
ll n,a,b;
ll f[2];//初始序列f(1)=x,f(2)=y
ll feb[2]={0,1};//斐波那契数列前两项
ll feb_a[3]={0,0,1};

matrix mul(matrix a,matrix b,int r,ll mo)
{
    matrix c;
    for(int k=0;k<r;k++)
        for(int i=0;i<r;i++)
            if(a.m[i][k])
                for(int j=0;j<r;j++)
                    c.m[i][j]=(c.m[i][j]+a.m[i][k]*b.m[k][j]%mo+mo)%mo;
    return c;
}

matrix pow_matrix(matrix M,ll m,int r,ll mo)//
{
    matrix E;
    for(int i=0;i<r;i++) E.m[i][i]=1;

    while(m)
    {
        if(m&1) E=mul(E,M,r,mo);
        M=mul(M,M,r,mo);
        m>>=1;
    }
    return E;
}

ll quick_pow(ll p,ll q)
{
    ll ans=1;
    while(q)
    {
        if(q&1) ans=(ans*p)%mod;
        p=(p*p)%mod;
        q>>=1;
    }
    return ans;
}


int main()
{
    while(~scanf("%llu%lld%llu",&f[0],&f[1],&n))
    {
        if(n==0) {printf("%llu\n",f[0]%mod);continue;}//
        if(n==1) {printf("%llu\n",f[1]%mod);continue;}

        if(f[0]%mod==0||f[1]%mod==0) {cout<<0<<endl;continue;}

        f[0]%=mod;
        f[1]%=mod;
        
        matrix M;
        M.m[0][1]=M.m[1][0]=M.m[1][1]=1;
        matrix P=pow_matrix(M,n-1,2,mod-1);//2阶矩阵M^n-2，算x,y的幂次
        ll tmp1=(P.m[0][0]*feb[0]%(mod-1)+P.m[0][1]*feb[1]%(mod-1))%(mod-1);//矩阵相乘得到斐波那契数列,f[0]的指数
        ll tmp2=(P.m[1][0]*feb[0]%(mod-1)+P.m[1][1]*feb[1]%(mod-1))%(mod-1);//f[1]的指数
        ll ans=((quick_pow(f[0],tmp1)%mod)*(quick_pow(f[1],tmp2)%mod))%mod;
        printf("%llu\n",ans);
    }
    return 0;
}