数论之Lucas定理及证明过程

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Lucas定理主要用于组合数取模。

Cmn≡Cm/pn/p⋅Cm%pn%p(modp)

p为素数，m和n为非负整数

(ab)即Cba

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证明过程:

已知p为素数，将非负整数a转化为p进制表示

a=akpk+ak−1pk−1+⋯+a1k+a0

因为p是素数，所以对于

1≤j≤p−1

都有

Cjp=pj⋅Cj−1p−1≡0(modp)

于是有

(1+x)p=1+C1p+C2p+⋯+Cp−1pxp−1+Cppxp=1+∑i=1p−1Cjp+xp≡1+xp(modp)①

设

n=sp+q

m=tp+r

即

s=n÷p

q=n%p

t=m÷p

r=m%p

则

(1+x)n=(1+x)sp+q=(1+x)sp⋅(1+x)q=[(1+x)s]p⋅(1+x)q

代入上式得

(1+x)n≡(1+xp)s⋅(1+x)q(modp)②

对(1+xp)s 和 (1+xp)⋅(1+x)q 分别进行二项式展开得

(1+xp)s⋅(1+x)q≡∑i=0s(si)xip⋅∑j=0q(qj)xj(modp)

即

(1+x)n≡∑i=0s(si)xip⋅∑j=0q(qj)xjmod(modp)③

对(1+x)n进行普通二项式展开得：

(1+x)n=∑i=0sp+q(sp+qk)xk

③式中xtp+r的系数为(sp+qtp+r)

寻找②式中xtp+r这一项，当且仅当i=t，j=r时，能得到xtp+r的系数，即(st) (qr)

即

(sp+qtp+r)≡(st)(qr)(modp)

即

(nm)≡(n/pm/p)(m%pn%p)(modp)

证明完毕。

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