[Neuronal Dynamics 笔记] I Foundations of Neuronal Dynamics - 2 The Hodgkin-Huxley Model

1952年，Alan Lloyd Hodgkin和Andrew Fielding Huxley观测鱿鱼巨大轴突的放电情况，建立了以两个人的名字共同命名的Hodgkin-Huxley Model，简称HH模型。

HH模型用物理电路结构，模拟了神经元的主要部分，能够模拟神经元脉冲发放的过程，而且能对过程中的每一步骤作出合理解释。HH模型是最著名的神经元发放模型，但由于模型较复杂，在大型网络中很少使用。

1. HH模型的电路结构

和IF模型相似，HH模型也将神经元用三部分来表示；与IF模型不同的是，HH模型的电阻和电池的种类变多了。

电路	神经元
电容	细胞膜
电阻	钾离子通道
	钠离子通道
	其他离子通道
电池	钾离子能斯特电位
	钠离子能斯特电位
	其他离子能斯特电位

（1）电容

细胞膜是磷脂双分子层，将细胞内环境和外环境相隔开。注入的电流可以短暂的保存在细胞内中，因此可以将细胞膜看成暂时存储电流的器件——电容。

（2）电阻

细胞膜上镶嵌着许多蛋白质，这些蛋白质包括离子泵和离子通道，本节主要讨论离子通道。

蛋白质	功能
离子泵	为了维持细胞内外的离子浓度差，主动运输离子。
离子通道	当离子通道打开时，离子由于浓度差的存在，可以自由的通过离子通道。

如上图左所示，离子通道打开，离子可以通过离子通道，此时该离子通道的电阻小；图右，离子通道关闭，离子无法通过离子通道，此时该离子通道的电阻大。由于离子通道可以打开或关闭，离子通道的电阻是变化的。

神经元中，大量存在钾离子和钠离子，将它们俩的离子通道电阻，分别用可变电阻$R_K$, $R_{Na}$来表示，剩下的所有离子通道电阻，看成固定阻值的电阻$R_L$，称为泄漏电阻。

（3）电池

细胞内外存在许多离子，这些离子浓度往往不相同，比如钠离子，在细胞外的浓度比在细胞内的浓度高（外高内低）；钾离子，在细胞外的浓度比在细胞内的浓度低（外低内高）。由于离子浓度不同，所造成的电势差，就是能斯特电位。 在HH模型中，用电池来模拟能斯特电位。

以钠离子来举例，钠离子的能斯特电位为+67mV（细胞内电压-细胞外电压），如果当前的钠离子电位低于67mV，则会有钠离子往细胞内流，以升高膜电位，等到电位接近67mV时，钠离子就不再继续内流了（其实是内流和外流的一样多），这个时候钠离子的电位处于一个平衡状态，也就是67mV。如果当前的钠离子电位高于67mV，则会有钠离子往细胞外流，以降低膜电位，直到膜电位接近67mV。

在平衡状态下，即内流外流离子相等，且细胞内外保持一定浓度差的情况下，离子的平衡电位就是能斯特电位。此外，能斯特电位也被称为逆转电位，在上述例子中，当电位低于能斯特电位时，钠离子内流；当电位高于能斯特电位时，钠离子外流。当电位值由小于67mV到大于67mV时，钠离子的流动方向会发生反转（由向内变成向外），故而能斯特电位也被称为逆转电位。

在HH模型中，将钾离子和钠离子的能斯特电位分别用$E_K$和$E_{Na}$来表示，其他离子的能斯特电位，用$E_L$表示。

2. 电流注入对模型产生的影响

当有电流I(t)注入HH模型时（即有动作电位到达神经元时），电流被分为四部分$I_C$、$I_L$、$I_{Na}$、$I_K$。
$$I(t)=I_C+I_L+I_{Na}+I_K\text{\hspace{1em}(a)}$$

（1）$I_C$

由电容的定义可知，$$C=\frac{Q}{U}$$
即，$$Q=CU$$
对两边取微分得到
$$\frac{dQ}{dt}=C\frac{dU}{dt}$$
上式的左边为电流的定义，所以$$I_C=\frac{dQ}{dt}=C\frac{dU}{dt}$$

（2）$I_L$

由欧姆定律可知$$I_L=\frac{U_L}{R_L}$$
在这条并联电路上，总电压为U，电阻电压为$$U_L=U-E_L$$
用电导率$g_L$表示电阻$$g_L=\frac{1}{R_L}$$
所以$$I_L=\frac{U_L}{R_L}=g_L(U-E_L)$$

（3）$I_{Na}$

同理，$$I_{Na}=\frac{U_{Na}}{R_{Na}}=g_{Na}{m}^{3}h(U-E_{Na})$$
其中，$g_{Na}$为Na离子通道最大电导率，m、h是Na离子通道的门变量，在0到1之间变化。

可以看到，上式中多了$m^{3}h$，这是因为Na离子通道的电阻不是一个恒定值，会随着离子通道的打开或关闭而变化。当两者都为1时，电导率最大，此时电阻最小，离子通道打开；当两者中有一个为0时，电导率为0，电阻很大，离子通道关闭。

（4）$I_K$

和Na离子电流相似，$$I_K=\frac{U_K}{R_K}=g_K{n}^4(U-E_K)$$
其中，$g_K$为K离子通道最大电导率，n是K离子通道的门变量，在0到1之间变化。

最终，(a) 式变为
$$I(t)=C\frac{dU}{dt}+g_L(U-E_L)+g_{Na}{m}^{3}h(U-E_{Na})+g_K{n}^4(U-E_K)\text{\hspace{1em}(1)}$$

（5）门变量m、n、h

门变量主要控制离子通道的打开程度，钠离子有两个门变量m、h，钾离子有一个门变量n。

在Hodgkin和Huxley两人的实验中发现，门变量会以某个速度趋近于它们的目标值（图B），这个目标值会随着电压的变化而变化（图A）。

也就是说，当神经元受到刺激时，门变量会发生改变，趋向于相应电压下的目标值，但趋向的速度有快有慢，比如门变量m，它的时间常数${\tau }_m(u)$很小，在很短的时间内就可以趋近于目标值$m_0(u)$，所以当神经元受到刺激时，门变量m总是最先发生变化，随后h和n才会发生改变。

$$\frac{d}{dt}m=-\frac{m-m_0(u)}{{\tau }_m(u)}\text{\hspace{1em}(2)}$$
$$\frac{d}{dt}n=-\frac{n-n_0(u)}{{\tau }_n(u)}\text{\hspace{1em}(3)}$$
$$\frac{d}{dt}h=-\frac{h-h_0(u)}{{\tau }_h(u)}\text{\hspace{1em}(4)}$$

公式(1)(2)(3)(4)共同组成了HH模型。