为什么要在神经网络里引入非线性函数对线性系统进行修正？

为什么引入非线性函数？Relu函数的优点？

    第一个问题：为什么引入非线性激励函数？
    如果不用激励函数（其实相当于激励函数是f(x) = x），在这种情况下你每一层输出都是上层输入的线性函数，很容易验证，无论你神经网络有多少层，输出都是输入的线性组合，与没有隐藏层效果相当，这种情况就是最原始的感知机（Perceptron）了。
    正因为上面的原因，我们决定引入非线性函数作为激励函数，这样深层神经网络就有意义了（不再是输入的线性组合，可以逼近任意函数）。最早的想法是sigmoid函数或者tanh函数，输出有界，很容易充当下一层输入（以及一些人的生物解释balabala）。

    第二个问题：Relu函数的优点？
    第一，采用sigmoid等函数，算激活函数时（指数运算），计算量大，反向传播求误差梯度时，求导涉及除法，计算量相对大，而采用Relu激活函数，整个过程的计算量节省很多。
    第二，对于深层网络，sigmoid函数反向传播时，很容易就会出现梯度消失的情况（在sigmoid接近饱和区时，变换太缓慢，导数趋于0，这种情况会造成信息丢失，参见@Haofeng Li 答案的第三点），从而无法完成深层网络的训练。
    第三，Relu会使一部分神经元的输出为0，这样就造成了网络的稀疏性，并且减少了参数的相互依存关系，缓解了过拟合问题的发生（以及一些人的生物解释balabala）。

    1、逻辑回归原理 
和线性回归很像，逻辑回归将多元线性函数的结果，再通过sigmod激活函数进行运算，从而将结果压缩至0-1区间，该区间表示事件是否发生的概率。 
    2、公式推导 
sigmod函数定义如下： 
 
设线性方程为： 
 
则预测函数H为： 
 
注意：hθ(x)函数的值表示结果取1的概率，写成条件概率形式，则为： 
 
注意：y只能取0或1，当为1时，该式为hθ(x)，为0时，该式为1-hθ(x) 
对m个样本，取最大似然估计，可得： 
 
为方便计算，取对数得l(θ)： 
 
将J(θ)设为l(θ)乘以-1/m，这样，取似然函数l(θ)的最大值，转换为取J(θ)的最小值。 
求J(θ)的最小值可以使用梯度下降法，参数更新公式为： 
 
可以看到，需要对J(θ)求导，为了对J(θ)求导，需要先得出h函数的求导公式： 
 
使用该公式对J函数求导： 

这样参数更新的公式为： 
 
因为式中α本来为一常量，所以1/m一般将省略，所以最终的θ更新过程为：