数学经典思想：数学归纳法 理解+实战

导语：

“数学归纳法”大家应该听起来并不陌生，从初中到大学应该都有使用这种思想去解题的经历。只不过在不同阶段的学习中难度不同，理解程度不同。最近在做一些高数方面相关的练习的时候用到的蛮多的，所以今天拎出来在自我学习巩固的过程中也可以和大家分享讨论。

1.定义

数学归纳法（Mathematical Induction, MI）是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定命题在整个（或者局部）自然数范围内成立。除了自然数以外，广义上的数学归纳法也可以用于证明一般良基结构，例如：集合论中的树。这种广义的数学归纳法应用于数学逻辑和计算机科学领域，称作结构归纳法。

在数论中，数学归纳法是以一种不同的方式来证明任意一个给定的情形都是正确的（第一个,第二个，第三个，一直下去概不例外）的数学定理。

虽然数学归纳法名字中有“归纳”，但是数学归纳法并非不严谨的归纳推理法，它属于完全严谨的演绎推理法。事实上，所有数学证明都是演绎法。

tip: 定义不再赘述，具体参见百度百科即可

2.MI思想

三部曲： 归纳 -> 猜想 -> 证明

一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：

(1)归纳奠基：证明当n取第一个值n0(n0∈N∗)时命题成立；
(2)归纳递推：假设当n＝k(k≥n0，k∈N∗)时命题成立，推出当n=k+1时命题也成立。
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．上述证明方法叫做数学归纳法。

注意事项:

1.凡是与自然数有关的命题，或探索性问题都可以使用数学归纳法来证明。

2.两个步骤缺一不可，第一步是归纳奠基，第二步是归纳递推。 第一步的初值不一定是n0=1，还有可能是n0=2或n0=3，比如涉及到多边形的问题时，其初值往往为n0=3。

3.第二步在证明n=k+1时命题成立的时候，必须使用n=k时的归纳假设，否则绕过归纳假设得出的结论就是不可靠的，是错误的。

4.数学归纳法的难点其一，就是从n=k到n=k+1时的项数的变化情况，大多情况下，增加项数为1项，但不是所有题目都增加的项数为1项，当k在指数位置时，增加的项数往往不止一项。

5.在证明n=k＋1(k∈N∗，k≥n0)时命题成立的常用技巧：

①分析n＝k＋1时命题与n＝k时命题形式的差别，确定证明目标。

②证明恒等式时常用乘法公式、因式分解、添拆项配方、通分等等变形技巧，证明不等式时常用分析法、综合法、放缩法、做差法等。

③可能用到公式：(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3，a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)

3.实战

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