数据结构与算法：第一章（概论）

一、基本概念和术语

1．数据（Data）是信息的载体，是描述客观事物的数、字 符、以及所有能输入到计算机中，被计算机程序识别和处理 的符号的集合。
2．数据元素（Data Element）是数据中的一个“个体” ，是数据的基本单位。在有些情况下数据元素也称为元素、 结点、顶点、记录等。数据元素用于完整地描述一个对象。 如：一个学生记录、棋盘中的一个格局、图中的一个顶点等 。
3．数据项(Data Item)是组成数据元素的有特定意义的 不可分割的最小单位。如构成一个数据元素的字段、域、属 性等都可称之为数据项。数据元素是数据项的集合。 如：学生信息表中的学号、姓名、性别、专业等。
4．数据对象(Data Object)是具有相同性质的数据元素 的集合，是数据的一个子集。 如：整数数据对象是集合N = { 0，±1，±2， … }，字 母字符数据对象是字符集合C={‘a’，‘b’，…，‘z’}，学生 数据对象等。
5．数据结构（Data Structure）通过抽象的方法研究一 组有特定关系的数据的存储与处理，数据结构主要研究三个 方面的内容。 (1) 数据之间的逻辑关系，即数据的逻辑结构； (2) 数据及其逻辑关系如何在计算机中存储实现，即数据的 存储结构； (3) 在某种存储模式下，对数据施加的操作是如何实现的， 即运算实现。
数据结构的三要素

6．数据的逻辑结构
集合结构：元素间的次序是任意的。元素之间除了 “属于同一集合”的联系外没有其他的关系。
线性结构：数据元素的有序序列。除了第一个和最 后一个元素外，其余元素都有一个前趋和一个后继， 1对1
树形结构：除了根元素外，每个节点有且仅有一个 前趋，后继数目不限，1对多
图型结构：每个元素的前趋和后继数目都不限，多 对多

7．数据的存储结构
(1) 顺序存储结构：借助元素在存储器中的相对位置表示数据元素之间 的关系，通常用数组来实现。
(2) 链接存储结构：借助表示元素存储地址的指针显式地指出元素之间 的逻辑关系，逻辑上相邻的元素其物理位置不要求相邻，通常借助指针 实现。采用链接存储结构除了存储数据元素本身之外还要存储指示元素 间关系的指针。
(3) 哈希（散列）存储方式：是专用于集合结构的数据存放方式。在哈 希存储中，用一个哈希函数将数据元素按关键字和一个唯一的存储位置 关联起来。方法是根据设定好的哈希函数f(key)和处理冲突的规则将一 组关键字映象到一个有限的连续的地址集(区间)上。
(4) 索引存储方式：数据元素被排成一个序列：d1，d2，…，dn，每 个结点d在序列里都有对应的位序i，位序可以作为结点的索引存储在索 引表中。检索时利用结点的顺序号i来确定结点的存储地址。
8．数据的运算
(1) 创建：创建某种数据结构；
(2) 清除：删除数据结构；
(3) 插入：在数据结构指定的位置上插入一个新元素；
(4) 删除：将数据结构中的某个元素删去；
(5) 搜索：在数据结构中搜索满足特定条件的元素；
(6) 更新：修改数据结构中的某个元素的值；
(7) 访问：访问数据结构中的某个元素；
(8) 遍历：按照某种次序访问数据结构中的每一元素，使每 个元素恰好被访问一次；

二、算法的定义及特性

算法是对特定问题求解步骤的一种描述，是 指令的有限序列。其中每一条指令表示一个或多个操作。简 单的说，算法就是解决特定问题的方法。描述一个算法可以 采用文字叙述，也可以采用传统流程图、N-S图或PAD图等 ，本书采用C++语言描述。

评价一个算法优劣的重要依据是看执行该算法的程序需要占 用多少机器资源：
◼ 程序所用算法运行时所要花费的时间代价
◼ 程序中使用的数据结构占有的空间代价

一个算法具有下列重要特性：
1．有穷性：即算法只执行有限步，并且每步应该在有限的时 间内完成。
2．确定性：即算法中的每一条指令必须有确切的合义，无二 义性，在任何条件下，算法只有唯一的一条执行路径，即对于 相同的输入只能得出相同的输出。
3．可行性：即算法中描述的操作都必须足够基本，即都是可 以通过已经实现的基本运算执行有限次来实现的；
4．输入： 算法具有零个或多个输入，也就是说算法必须有 加工的对象。输入取自特定的数据对象的集合。
5．输出：算法具有一个或多个输出。这些输出与输入之间有 某种确定的关系。这种确定关系就是算法的功能。

设计一个好的算法通常要考虑达到以下目标：
1．正确性(Correctness)
2．可读性（Readability）
3．健壮性（Robustness）
4．高效性（High efficiency）

三、算法效率的衡量方法

解决同一个问题总是存在着多种算法，而最重要的计算 资源是时间和空间，因此，评价一个算法优劣的重要依 据是：程序所用算法运行时所要花费的时间代价和程序 中使用的数据结构占有的空间代价，算法设计者需要在 两者之间采取折衷。进行算法性能分析的目的是寻找高 效的算法来解决问题，提高工作效率。那么，如何评估 各算法的好坏？或据此设计出更好的算法呢？ 衡量算法效率的方法主要有两大类：
1．事后统计的方法：利用计算机的时钟进行算法执行时 间的统计。在算法中的某些部位插入时间函数time ( ) 测定算法完成某一功能所花费的时间。这种方法有非常 明显的缺陷：首先必须把算法转变成为程序执行，其次 进行时间统计时依赖于硬件和软件环境，这容易掩盖算 法本身的优劣。
2．事前分析估算的方法：用高级语言编写的程序运行的 时间主要取决于如下因素：
(1) 算法选用的策略；
(2) 问题的规模。随着处理问题的数据增大，处理会越来 越困难复杂，把描述数据增大程度的量叫做问题规模。 规模越大，消耗时间越多。
(3) 编写程序的语言。对于同一个算法，实现语言的级别 越高，其执行效率就越低；
(4) 编译程序所产生的目标代码的质量。对于代码优化较 好的编译程序其所生成的程序质量较高； (5) 机器执行指令的速度。

显然，上述后面三条与算法设计是无关的。也就 是说同一个算法用不同的语言实现，或者用不同 的编译程序进行编译，或者在不同的计算机上运 行时，效率均不相同。这表明使用绝对的时间单 位衡量算法的效率是不合适的。去除掉这些与计 算机硬件、软件有关的因素，可以认为一个特定 算法的“运行工作量”的大小，只依赖于问题的规 模（通常用整数量 n 来表示），或者说：它是问 题规模的函数。

四、算法的时间复杂度

算法的时间复杂度（Time Complexity）：
T(n)是该算 法的时间耗费，是其所求解问题规模n的函数。当问题规 模n趋向无穷大时，不考虑具体的运行时间函数，只考虑 运行时间函数的数量级（阶）这称为算法的渐进时间复 杂度(Asymptotic Time Complexity)。 渐进表示法的常用记法如下：
(1) 大 O 表示法 T(n)=O(f(N)) 说明：如果存在常量 c>0 和正整数N0>=1，当 N>=N0 时有 T(N)<=cf(N)。即给出了时间复杂度的上界，不可 能比 cf(N)更大。

(2) 大 Ω 表示法 T(n)=Ω(f(N)) 说明：如果存在常量 c>0 和正整数N0>=1，当 N>=N0 时有 T(N)>=cf(N)。即给出了时间复杂度的下界，不可 能比 cf(N)更小。

(3) 大 θ 表示法 T(n)=θ(f(N)) 说明：如果存在常量 c>0 和正整数 N0>=1，当 N>=N0时有 T(N)==cf(N)。即T(n)=O(f(N)) 与 T(n)=Ω(f(N)) 都成立，给出了时间复杂度的上界和下界。 经常将渐进时间复杂度大O表示法T(n) = O(f(n))简称 为时间复杂度
计算时间复杂度的基本原则：
(1) 在程序中找出最复杂、运行时间最长的程序段，计算它 的时间复杂度，也就是整个程序的时间复杂度。
(2) 数量级函数f(N)的选择：通常选择比较简单的函数形式， 并忽略低次项和系数。 常见的时间复杂度及其关系如下：

## 五、算法的空间复杂度
空间复杂度（Space Complexity）或称为空间复杂性 是指解决问题的算法在执行时所占用的存储空间，也是衡 量算法有效性的一个指标，记作：

S(n)=O(g(n))

其中n为问题的规模（或大小）。表示随着问题规模 n 的 增大，算法运行所需存储量的增长率与函数 g(n) 的增 长率相同。

如果输入数据所占空间只取决于问题本身，和算法无关， 则在讨论算法的空间复杂度时只需分析除输入和程序之外 的辅助变量所占的额外空间即可。如果所需额外空间相对 于输入数据量来说只是一个常数，则称此算法为“原地工 作”，此时的空间复杂度为 O(1)；如果算法所需的存储 量与特定的输入有关，同时间复杂度一样，也是按照最坏 的情况进行考虑。

六、抽象数据类型

和数据结构的形式定义相对应，抽象数据类型可用以下三元 组表示：
（D，R，P） 其中D是数据对象，即具有相同特性的数据元素的集合。R 是D上的关系集合，P是对D的基本操作集合。 抽象数据类型的伪代码定义格式：
ADT 抽象数据类型名 {
数据对象D：<数据对象的定义>
数据关系R：<数据关系的定义>
基本操作P：<基本操作的定义>
}ADT 抽象数据类型名

随着程序设计的发展，数据结构的发展经历了三个 阶段：无结构阶段、结构化阶段和面向对象阶段。 本书采用C++语言描述抽象数据类型和算法， C++语言作为一种面向对象的程序设计语言是在吸 收结构化程序设计语言的优点的基础上发展起来的。 面向对象的程序设计方法其本质是把数据和处理数 据的过程抽象成一个具有特定身份和某些属性的自 包含实体即对象。

前面介绍过，计算机科学家N.Wirth教授曾经提出一个著 名的公式“算法 + 数据结构 = 程序”，这个公式在软件 开发的进程中产生了深远的影响，但是，它并没有强调数 据结构与解决问题的算法是一个整体，因此在面向对象程 序设计阶段，有人主张将它修改为：
◼ 程序 = 对象 + 对象 + …
◼ 对象 = 数据结构 + 算法