高斯牛顿(Gauss Newton)、列文伯格-马夸尔特(Levenberg-Marquardt)最优化算法与VSLAM

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在VSLAM优化部分,我们多次谈到,构建一个关于待优化位姿的误差函数

直接法:灰度误差  ;特征点法:重投影误差),

待优化的位姿使这个误差函数最小时(当SLAM运动不是太剧烈时,误差函数满足单峰性),认为此时位姿最精确。


如果这个误差函数是线性,而且已知解析式的,很容易通过求导,令导数=0,求极值解决问题。

然而,误差函数是关于待优化位姿的一个非线性多元函数,怎么求使这个误差函数最小的位姿呢?


实际上,这是一个非线性无约束最优化问题,在目前主流的VSLAM(比如ORB,SVO,LSD)里,

采用的优化算法主要有两种:

一种是高斯牛顿(Gauss Newton)算法,另一种是列文伯格-马夸尔特(Levenberg-Marquardt)算法,简称LM算法


下面我们详细探讨一下,高斯牛顿和LM算法的原理以及在VSLAM中的应用。

首先,最小二乘是要解决什么问题?

       1 最小二乘算法

                高斯牛顿(Gauss Newton)、列文伯格-马夸尔特(Levenberg-Marquardt)最优化算法与VSLAM_第1张图片

     1.1 线性最小二乘问题

              高斯牛顿(Gauss Newton)、列文伯格-马夸尔特(Levenberg-Marquardt)最优化算法与VSLAM_第2张图片

1.2 非线性最小二乘问题

               

高斯牛顿(Gauss Newton)、列文伯格-马夸尔特(Levenberg-Marquardt)最优化算法与VSLAM_第3张图片

迭代过程如下图所示:

1.2.1 高斯牛顿法

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                高斯牛顿(Gauss Newton)、列文伯格-马夸尔特(Levenberg-Marquardt)最优化算法与VSLAM_第5张图片

1.2.2 LM算法

               
高斯牛顿(Gauss Newton)、列文伯格-马夸尔特(Levenberg-Marquardt)最优化算法与VSLAM_第6张图片

          高斯牛顿(Gauss Newton)、列文伯格-马夸尔特(Levenberg-Marquardt)最优化算法与VSLAM_第7张图片

       

                     高斯牛顿(Gauss Newton)、列文伯格-马夸尔特(Levenberg-Marquardt)最优化算法与VSLAM_第8张图片



        

2        高斯牛顿和LM算法在VSLAM中的应用


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