马拉车 Manacher
Manacher，也叫马拉车。是用来查找一个字符串的最长回文子串的线性算法。
一个字符串的长度有可能是偶数也可能是奇数。为了实现方便，对原串略加改动。如 ababca 为 $#a#b#a#b#c#a#，令新串为 s s s。
定义 p i p_i pi 为以 i i i 为对称中心的最长回文半径。刚刚栗子的 p p p 为
$ # a # b # a # b # c # a #
1 1 2 1 4 1 4 1 2 1 2 1 2 1
可以发现：非字母字符对应的 p i p_i pi 为奇数，字母字符对应的 p i p_i pi 为偶数。在新串中，因为有其它的字符，所以以 i i i 为中心的最长回文子串长度为 p i − 1 p_{i} - 1 pi−1。那么初始化是简单明了的。
void init(){
str[1] = '$'; str[2] = '#';
for (int i = 1; i <= n; i++) str[i * 2 + 1] = s[i], str[i * 2 + 2] = '#';
n = (n + 1) * 2 + 1;
}
难点在构造 p p p，从左到右构造 p p p 数组。令 m x mx mx 为以 i d id id 为中心的最长回文子串的右边界，有 i d + p i d = m x id + p_{id} = mx id+pid=mx。对于当前的 i i i，如果有 i < m x i < mx i<mx，那么 p i = min { p 2 × i d − i , m x − i } p_i = \min \{ p_{2 \times id - i}, mx - i\} pi=min{p2×id−i,mx−i}。
略证：令 j j j 为 2 × i d − i 2 \times id - i 2×id−i，那么 p i = min { p j , m x − i } p_i = \min \{ p_j, mx-i \} pi=min{pj,mx−i}。有 i + j 2 = i d \frac{i + j}{2} = id 2i+j=id，故根据中点公式知 i d id id 为 i i i 与 j j j 的中点。
如下图，对于取 p j p_j pj 的情况为 i i i 与 j j j 那一段相等。那么 i i i 的那一段能更长吗？不能的，因为如果更长，意味着 s l − 1 = s r + 1 s_{l-1} = s_{r+1} sl−1=sr+1 了。如果成立，有 l − 1 l-1 l−1 与 匹配 l − 1 l-1 l−1 的点相同，进而有蓝线的成立关系，蓝线成立则与 p j p_j pj 已经求出矛盾。
刚才讨论的情况是 p j p_j pj 在 i d id id 的覆盖范围的，若超出，那么不满足限定 i i i 与 j j j 那一段相等。如下图，根据 i d id id 是 i i i 与 j j j 的中点，可知 p i p_i pi 最短也是 m x − i mx-i mx−i，那么可能更大即为 i i i 扩展到 m x mx mx 往右呢？不能的，因为若想让蓝线成立，那么有绿线成立，进而有橙线成立，而橙线成立超出了以 i d id id 为对称中心 的 m x mx mx 的边界而矛盾。
综上所述。 p i = min { p 2 × i d − i , m x − i } p_i = \min \{ p_{2 \times id - i}, mx - i\} pi=min{p2×id−i,mx−i}，并随时更新 i d id id 与 m x mx mx。
void manacher(){
int mx = 0, id = 0;
for (int i = 2; i <= n; i++){
if (i < mx) p[i] = min(p[id * 2 - i], mx - i);
else p[i] = 1;
for (; str[i + p[i]] == str[i - p[i]]; p[i]++)
if (p[i] + i > mx) id = i, mx = p[i] + i;
}
}
马拉车还可用于 hash，所以不一定是字母回文，还可能是数字回文。
#include