2020牛客暑期多校训练营（第五场）C Easy

2020牛客暑期多校训练营（第五场）C Easy

题意

C Easy
有两个长度为k的正整数序列A，B满足${\sum }_{i=1}^k{a}_i=N$,${\sum }_{i=1}^k{b}_i=M$
求$P={\prod }_{i=1}^{k}min(a_i,b_i)$的种类。

题解

设$n<m$，满足条件的a和b的方案构造的生成函数如下

$(x+x^2\dots +\dots +x^n{)}^k(y^1+y^2\dots +\dots +y^m{)}^k$

其中$x,y$的幂次表示给予的值，所以$(x+x^2\dots +\dots +x^n{)}^k$拆开后的$x^n$项的系数就表示$a_i$的种类数，y同理。

因此可知$x^n{y}^m$的系数即为赋值所求方案数。
然后构造题中$min(a_i,b_i)$的值，
单一的一对$(a_i,b_i)$其生成函数为$(x+x^2\dots +\dots +x^n)(y^1+y^2\dots +\dots +y^m)$,那么此时该项的贡献价值应为$min(a_i,b_i)$，显然该生成函数中每一项的系数都只有1。为了构造正确贡献的生成函数，使得每一对的$(a_i,b_i)$都有$min(a_i,b_i)$的系数，因此对于每一项$x^i{y}^j$（$i<j$）,考虑$x^{i-1}{y}^{j-1}$,$x^{i-2}{y}^{j-2}$…$x^1{y}^{j-i+1}$项，每一项都乘上$xy$的某个幂次，就可以使每一项都具有$min(a_i,b_i)$的系数。因此对于单一的一项，构造如下生成函数
$(x+x^2\dots +\dots +x^n{)}^k(y^1+y^2\dots +\dots +y^m{)}^k(1+xy+{(xy)}^1+{(xy)}^2+\dots +{(xy)}^{n-k})$
再扩展到k项为如下生成函数
$(x+x^2\dots +\dots +x^n{)}^k(y^1+y^2\dots +\dots +y^m{)}^k(1+xy+{(xy)}^1+{(xy)}^2+\dots +{(xy)}^{n-k}{)}^k$
这个式子通过公式$G(x)=\frac{1}{1-x}=x+x^2\dots +\dots +x^n$就可以转化为题解中的式子$\frac{xy}{(1-x)(1-y)(1-xy)}$（所以题解为什么要转过来啊orz）
在生成函数中构造$x^n{y}^m$就可以枚举xy的系数$i=[0,n-k]$（因为序列要是正整数，所以先减去k个数），然后补全x，y的系数，其中通过广义二项式$G^n(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{C}_{n+k-1}^k{x}^k$扩展。公式如下：$res=\sum _{i=0}^{n-k}{C}_{k+i-1}^i{C}_{k+n-k-i-1}^{n-k-i}{C}_{k+m-k-i-1}^{m-k-i}$

代码

#include
typedef long long ll;
using namespace std;
#define N 1000005
#define mod 998244353
ll powmod(ll a, ll b){
	ll res = 1;
	a %= mod;
	while(b) {
		if(b & 1) {
			res = res * a % mod;
		}
		b >>= 1;
		a = a * a % mod;
	}
	return res;
}
ll fac[N], inv[N];
void init() {
	fac[0] = 1;
	for(int i = 1; i < N; i++) {
		fac[i] = fac[i - 1] * i % mod;
	}
	inv[N - 1] = powmod(fac[N - 1], mod - 2);
	for(int i = N - 2; i >= 0; i--) {
		inv[i] = inv[i + 1] * (i + 1) % mod;
	}
}
ll c(ll n, ll m) {
	if(m > n) {
		return 0;
	}
	if(m == 0) return 1;
	if(n < N) return fac[n] * inv[m] % mod * inv[n - m] % mod;
	//c(m,k) = m!/(k! * (m - k))= m-k+1~m/(k!)
	ll res = inv[m];
	for(int i = n - m + 1; i <= n; i++) {
		res = res * i % mod;
	}
	return res;
}
int main() {
	init();
	int t;
	scanf("%d", &t);
	while(t--) {
		int n, m, k;
		scanf("%d%d%d", &n, &m, &k);
		if(n > m) swap(n, m);
		ll res = 0;
		for(int i = 0; i <= n - k; i++) {
			res = ((ll)res + c(k + i - 1, i) 
						* c(k + n - k - i - 1, n - k - i) % mod 
			 			* c(k + m - k - i - 1, m - k - i) % mod) % mod;
		}
		printf("%lld\n", res);
	}
}