Part 13 (1) Fourier级数基本概念与应用

文章目录

  • 1. Fourier级数基本概念
    • 1.1. 概念准备
      • 1.1.1. 三角函数系的正交
      • 1.1.2. 一种特殊的函数项级数——三角级数
      • 1.1.3. 分段分析性质
    • 1.2. Fourier系数
    • 1.3. 可以展成Fourier级数的条件
    • 1.4. Fourier级数的性质
    • 1.5. 题型:Fourier级数的展开计算
      • 1.5.1. 常用化简结构:
      • 1.5.2. 拓展题型
        • 1.5.2.1. 不以 2 π 2\pi 2π为周期
        • 1.5.2.2. 奇偶延拓

1. Fourier级数基本概念

1.1. 概念准备

1.1.1. 三角函数系的正交

∫ − π π cos ⁡ m x cos ⁡ n x   d x = { 0 , m ≠ n π , m = n ≠ 0 2 π , m = n = 0 ,    m , n = 0 , 1 , 2 ⋯ \int_{-\pi}^{\pi}\cos mx\cos nx\,\mathrm dx= \begin{cases} 0, &m\not=n\\ \pi, &m=n\not=0\\ 2\pi, &m = n = 0, \end{cases}\ \ m, n = 0, 1, 2\cdots ππcosmxcosnxdx=0,π,2π,m=nm=n=0m=n=0,  m,n=0,1,2
∫ − π π sin ⁡ n x sin ⁡ m x   d x = { 0 , m ≠ n π , m = n m , n = 1 , 2 , ⋯ \int_{-\pi}^\pi\sin nx\sin mx\,\mathrm dx=\begin{cases} 0, &m\not=n\\ \pi, &m = n\\ \end{cases} m, n = 1, 2, \cdots ππsinnxsinmxdx={0,π,m=nm=nm,n=1,2,
∫ − π π sin ⁡ n x cos ⁡ n x   d x = 0 ,   m = 0 , 1 , 2 ⋯   , n = 0 , 1 , 2 ⋯ \int_{-\pi}^\pi\sin nx\cos nx\,\mathrm dx=0,\ m=0,1, 2\cdots, n = 0, 1, 2\cdots ππsinnxcosnxdx=0, m=0,1,2,n=0,1,2
利用和差化积即可。

注意推导中一个常用的想法是:几倍于 2 π 2\pi 2π周期的三角函数,在 ∫ − π π \int_{-\pi}^\pi ππ上积分为0.

1.1.2. 一种特殊的函数项级数——三角级数

a 0 2 + ∑ k = 1 ∞ ( a k cos ⁡ k x + b k sin ⁡ k x ) \frac{a_0}{2}+\sum\limits_{k=1}^\infty\left(a_k\cos kx+b_k\sin kx\right) 2a0+k=1(akcoskx+bksinkx)

1.1.3. 分段分析性质

  • 分段连续:闭区间上除去有限个第一类间断点外处处连续
  • 分段单调:闭区间上只有有限个单调区间
  • 分段可导:分段连续,且在这些间断点上左右广义导数存在

广义右导数:其中 f ( x 0 + 0 ) f(x_0+0) f(x0+0)为右极限
lim ⁡ Δ x → 0 + 0 f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 + 0 ) Δ x \lim\limits_{\Delta x\to0+0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0+0)}{\Delta x} Δx0+0limΔxf(x0+Δx)f(x0+0)

分段(一阶)光滑:分段连续,导数分段连续,分段可导,那么分段光滑

分段光滑函数的性质:

  1. f ( x ) f(x) f(x) [ a , b ] [a,b] [a,b]上可积
  2. f ′ ( x ) f'(x) f(x) [ a , b ] [a,b] [a,b]上可积

1.2. Fourier系数

欲求 a k , b k a_k, b_k ak,bk,我们利用三角函数正交性的几个理论结果,我们对三角级数两侧分别乘 cos ⁡ k x , sin ⁡ k x \cos kx, \sin kx coskx,sinkx得到
a n = 1 π ∫ − π π f ( x ) cos ⁡ n x   d x , ( n = 0 , 1 , 2 ⋯   ) b n = 1 π ∫ − π π f ( x ) sin ⁡ n x   d x , ( n = 1 , 2 ⋯   ) a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos nx\,\mathrm dx, (n=0, 1, 2\cdots)\\ b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\sin nx\,\mathrm dx, (n=1, 2\cdots) an=π1ππf(x)cosnxdx,(n=0,1,2)bn=π1ππf(x)sinnxdx,(n=1,2)

1.3. 可以展成Fourier级数的条件

两种Dirichlet条件:

  • 分段连续且分段单调
  • 分段光滑

(逐点收敛定理)Dirichlet定理:满足Dirichlet条件的函数可以展成Fourier级数。
或者说其对应Fourier级数收敛到该点的广义左右极限的平均值 f ( x − 0 ) + f ( x + 0 ) 2 \displaystyle\frac{f(x-0)+f(x+0)}{2} 2f(x0)+f(x+0)

此时,前 n n n项和函数为
S n ( x ) = 1 π ∫ − π π f ( x + t ) sin ⁡ ( n + 1 2 ) t 2 sin ⁡ 1 2 t   d t S_n(x)=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x+t)\frac{\sin(\displaystyle n+\frac{1}{2})t}{2\sin\displaystyle\frac{1}{2}t}\,\mathrm dt Sn(x)=π1ππf(x+t)2sin21tsin(n+21)tdt
这个积分称为Dirichlet积分。

1.4. Fourier级数的性质

(系数的趋势)设 f ( x ) f(x) f(x) [ − π , π ] [-\pi, \pi] [π,π]上可积或绝对可积,则其Fourier系数满足:
lim ⁡ n → ∞ a n = 0 , lim ⁡ n → ∞ b n = 0 \lim\limits_{n\to\infty}a_n=0, \lim\limits_{n\to\infty}b_n=0 nliman=0,nlimbn=0

(Fourier级数的逐项积分定理) ∀ x , c ∈ [ − π , π ] : \forall x, c\in[-\pi, \pi]: x,c[π,π]:
∫ c x f ( t )   d t = ∫ c x a 0 2   d t + ∑ n = 1 ∞ ( a n ∫ c x cos ⁡ n t   d t + b n ∫ c x sin ⁡ n t   d t ) \int_c^xf(t)\,\mathrm dt=\int_c^x\frac{a_0}{2}\,\mathrm dt+\sum\limits_{n=1}^\infty\left(a_n\int_c^x\cos nt\,\mathrm dt+b_n\int_c^x\sin nt\,\mathrm dt\right) cxf(t)dt=cx2a0dt+n=1(ancxcosntdt+bncxsinntdt)
这表明即便是 f ( x ) f(x) f(x)的Fourier级数不收敛,它的逐项积分收敛到 f ( x ) f(x) f(x)的积分,这是Fourier积分的特有性质

1.5. 题型:Fourier级数的展开计算

  • Step1:分析函数是否满足Dirichlet条件
  • Step2:计算Fourier系数
  • Step3:分间断点和连续点讨论Fourier级数表达式

1.5.1. 常用化简结构:

∫ 0 π x cos ⁡ n x   d x = 1 n 2 cos ⁡ n x ∣ 0 π = 1 n 2 [ ( − 1 ) n − 1 ] \int_0^\pi x\cos nx\,\mathrm dx=\frac{1}{n^2}\cos nx\Big|_0^\pi=\frac{1}{n^2}\left[(-1)^n-1\right] 0πxcosnxdx=n21cosnx0π=n21[(1)n1]
∫ 0 π x sin ⁡ n x   d x = − π n ( − 1 ) n \int_0^\pi x\sin nx\,\mathrm dx=-\frac{\pi}{n}(-1)^n 0πxsinnxdx=nπ(1)n

1.5.2. 拓展题型

1.5.2.1. 不以 2 π 2\pi 2π为周期

在计算的时候,将原问题中的 1 π \displaystyle\frac{1}{\pi} π1换成 2 T \displaystyle\frac{2}{T} T2或表示成 1 l \displaystyle\frac{1}{l} l1

1.5.2.2. 奇偶延拓

区间形如 [ 0 , l ] [0, l] [0,l]的任意函数,都可以通过延拓构造出类似周期函数的结构,这样就可以使用Fourier级数展开。随后将定义域缩小即可。
在数学物理方法中,这称作半幅Fourier级数。除了通常的奇延拓(对应半幅正弦级数)和偶延拓
ϕ ( x ) = ∑ n = 1 ∞ C n sin ⁡ n π x L = D 0 + ∑ n = 1 ∞ D n cos ⁡ n π x L \phi(x)=\sum_{n=1}^\infty C_n\sin\frac{n\pi x}{L}=D_0+\sum_{n=1}^\infty D_n\cos\frac{n\pi x}{L} ϕ(x)=n=1CnsinLnπx=D0+n=1DncosLnπx
之外,还可以有非整数系数的三角级数:
ϕ ( x ) = ∑ n = 1 ∞ C n sin ⁡ ( 2 n + 1 ) π x 2 L \phi(x)=\sum_{n=1}^\infty C_n\sin\frac{(2n+1)\pi x}{2L} ϕ(x)=n=1Cnsin2L(2n+1)πx
这在有限区间尤其是边值问题当中有广泛应用。
例题

这个例题综合了这两个拓展问题,值得研究
Part 13 (1) Fourier级数基本概念与应用_第1张图片
Part 13 (1) Fourier级数基本概念与应用_第2张图片

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