《计算机系统概论》-第2章-习题答案

1. 一个n-bit数可以表示多少个不同的二进制数？
   2ⁿ个
2. 如果采用二进制bit串来表示英语中的26个字母，至少需要多少个bit？如果还要区分大小写字母，又需要多少个bit？
   2⁵=32 表示26个字母需要5个bit
   2⁶=64 表示区分大小写的26的字母需要6个bit
3. a.假设某班级有400个学生，如果我们为每个学生分配一个唯一的二进制bit串，那么至少需要多少个bit来表示所有的学生？
   2⁹=512 表示400个学生，需要9个bit
   b.如果不再增加bit数，这个班最多还能增加多少个学生？
   512-400=112 还可以增加112个学生
4. 给定n位（bit），它可以表示多少个不同的无符号整数？范围是多大？
   2ⁿ个无符号整数 范围是：0~2ⁿ-1
5. 如果用5-bit二进制串表示数值，写出数值7和-7分别对应的反码、符号位码和补码表示方式。
   参考16页"补码"
   7：00111
   反码：00111
   符号位码：00111
   补码：00111
   -7：11001
   反码：11000
   符号位码：10111
   补码：11001
6. 试用6-bit反码表示数值-32。（英文版本：“Write the 6-bit 2’s complement representation of -32.”，翻译错了吧，应该是要求用补码表示数值-32吧 ）
   6-bit补码表示-32：100000
7. 试列出4-bit二进制补码所能表示的所有整数。
   0000：0
   0001：1
   0010：2
   0011：3
   0100：4
   0101：5
   0110：6
   0111：7
   1000：-8
   1001：-7
   1010：-6
   1011：-5
   1100：-4
   1101：-3
   1110：-2
   1111 ：-1
8. a.8-bit二进制补码能表示的最大正整数是多少？分别写出十进制和二进制数。
   2⁷-1
   127
   01111111
   b.8-bit二进制补码能表示的具有最大绝对值的负数是多少？分别写出十进制和二进制数。
   -2⁷
   -128
   10000000
   c.n-bit二进制补码能表示的最大正整数是多少?
   2^n-1-1
   d.n-bit二进制补码能表示的具有最大绝对值的负数是多少？
   -2^n-1
9. 如果用二进制补码方式表示摩尔常数6.0x10²³，需要多少bit？
   80位bit：01111111000011100001000010101111010001111100000111001000000000000000000000000000
10. 将下面的二进制补码转换为十进制数：
    a.1010：-6
    b.01011010：90
    c.11111110：-2
    d.0011100111010011：14803
11. 将下面的十进制数转换为8-bit二进制补码：
    a.102：01100110
    b.64：01000000
    c.33：00100001
    d.-128：10000000
    e.127：01111111
12. 二进制补码最后一位如果是0，那么这个数必然是偶数。如果二进制补码的最后两位都为0（例如二进制数01100），那么这种数有什么特点？
    是4的倍数，因为这个数是左移两位就是4倍
13. 请将下面的二进制数改写为8-bit数，且不允许改变其原有数值。
    a.1010：11111010
    b.011001：00011001
    c.1111111000：11111000
    d.01：00000001
14. 计算下列二进制加法，结果仍然表示为二进制数。
    a. 1011+0001：1100
    b. 0000+1010：1010
    c. 1100+0011：1111
    d. 0101+0110：01011
    e. 1111+0001：10000
15. 在本章例2-5中，证明了一个二进制数左移1位等价于将该数值乘2。试问，如果将其右移1位，等价于什么操作呢？
    右移一位等价于除2
16. 计算以下8-bit加法的结果，并分别写出结果所对应的二进制和十进制数。
    a. 7的反码加上-7的反码；11111111和-0
    b. 7的符号位表示加上-7的符号位表示；10001110和-14
    c. 7的补码加上-7的补码；00000000和0
17. 计算以下二进制补码加法，并将结果转换为十进制形式。
    a. 01+1011：1100和-4
    b. 11+01010101：01010100和84
    c. 0101+110：0011和3
    d. 01+10：11和-1
18. 计算以下无符号二进制数的加法，并将结果转换为十进制形式。
    a. 01+1011：1100和12
    b. 11+01010101：01011000和88
    c. 0101+110：1011和11
    d. 01+10：11和3
19. 将十进制数-27分别转换为8-bit补码、16-bit补码和32-bit补码，并阐述符号扩展在这三种表达形式中的应用。
    11100101
    1111111111100101
    11111111111111111111111111100101
    符号扩展用于不同bit位的加法运算中
20. 在以下4-bit补码运算中，其中哪些计算会产生溢出？请将操作数和计算结果分别改写为十进制方式予以验证。
    a. 110+0011：结果1，不会溢出（英文版中，原题是1100+0011：结果-1，没有溢出）
    b. 1100+0100：结果0，不会溢出
    c. 0111+0001：结果-8，溢出，因为两个正数相加结果为负数
    d. 1000-0001：结果7，溢出，因为两个负数相加结果为正数
    e. 0111+1001：结果0，不会溢出
21. 试描述在什么情况下，两个补码相加将产生溢出。
    两个正数相加，或者两个负数相加
22. 试给出两个16-bit补码相加产生溢出的例子。
    0111 1111 1111 1111 + 0000 0000 0000 0001
    1000 0000 0000 0000 - 0000 0000 0000 0001
23. 试描述在什么情况下，两个无符号整数相加会产生溢出。
    bit位数固定的时候，两个整数相加超过当前取值范围时。
24. 试给出两个16-bit无符号数相加产生溢出的例子。
    1111 1111 1111 1111 + 0000 0000 0000 0001
    1111 1111 1111 1110 + 0000 0000 0000 0010
25. 试解释，为什么在补码方式下负数和正数相加不会产生溢出？
    因为正数和负数相加结果在取值范围之内。
26. 将数值-64表示为二进制补码方式，并回答以下问题：
    a. 最少需要多少bit？7个
    b. 这些bit能够表示的最大正整数是多少（分别给出二进制和十进制数）？0111111和63
    c. 这些bit能够表示的最大无符号整数是多少（分别给出二进制和十进制数）？1111111和127
27. LC-3是一个16-bit计算机，如果LC-3对补码0101010101010101和0011100111001111相加的结果为1000111100100100，请问该结果有问题吗？如果有，问题是什么？如果没有，为什么？
    有问题，因为两个正数相加结果为负数
28. 试阐述逻辑AND运算在什么条件下输出为1。
    1 AND 1时结果为1
29. 略。
30. 求解下列逻辑运算结果，给出二进制表示。
    a. 01010111 AND 11010111：01010111
    b. 101 AND 110：100
    c. 11100000 AND 10110100：10100000
    d. 00011111 AND 10110100：00010100
    e. （0011 AND 0110） AND 1101：0000
    f. 0011 AND （0110 AND 1101）：0000
31. 试阐述逻辑OR运算在什么条件下输出为1。
    0 OR 1
    1 OR 0
    1 OR 1
32. 略。
33. 求解下列逻辑运算结果：
    a. 01010111 OR 11010111：11010111
    b. 101 OR 110：111
    c. 11100000 OR 10110100：11110100
    d. 00011111 OR 10110100：10111111
    e. （0101 OR 1100） OR 1101：1101
    f. 0101 OR （1100 OR 1101）：1101
34. 求解下列逻辑运算结果：
    a. NOT（1011） OR NOT（1100）：0111
    b. NOT（1000 AND （1100 OR 0101））：0111
    c. NOT（NOT（1101））：1101
    d. （0110 OR 0000） AND 1111：0110
35. 试阐述，在本章例2-11中，屏蔽字的作用是什么？
    不影响其他位的操作，通过屏蔽字仅对目标位进行操作。
36. 略。
37. 假设n、m、s都是4-bit补码数，且s是n和m相加的结果。如果只允许使用2.6节中介绍的逻辑运算，如何判断n和m相加的结果是否溢出？编写一个程序，输入n、m和s的值，如果n和m相加溢出，则输出1000；如果没有溢出，则输出0000。
    第一步：通过AND将n和m的左侧第一位bit提取出来，在通过XOR比较两者是否相同，如果不相同则表示正数和负数相加，此时肯定不会溢出。
    如果 (n AND 1000) XOR (m AND 1000) = 1000则返回0000表示不会溢出，否则继续判断
    第二步：左侧第一位bit相同，如果两数相加没有溢出，则s的左侧第一位bit应该和n、m相同，如果相同则表示没有溢出，如果不同，则表示溢出。
    如果(n AND 1000) XOR (s AND 1000) = 1000则返回0000表示没有溢出
    如果(n AND 1000) XOR (s AND 1000) = 0000则返回1000表示溢出
38. 假设n、m、s都是4-bit无符号整数，s是n和m相加的结果。如果只允许使用2.6节中介绍的逻辑运算，如何判断n和m相加的结果是否溢出？编写一个程序，输入n、m和s的值，如果n和m相加溢出，则输出1000；如果没有溢出，则输出0000。
    第一步 (n OR m) AND 1000，如果为0000则代表肯定没有溢出直接返回，
    第二步 ((n OR m) AND 1000) XOR (s AND 1000)将结果直接返回
39. 将以下十进制数转换成IEEE浮点数方式。
    a. 3.75：0 10000000 11100000000000000000000
    b. $-55\frac{23}{64}$：1 10000100 10111010111000000000000
    c. 3.1415927：0 10000000 10010010000000000000000（近似值，可以往下计算更加精确的值）
    d. 64 000：0 10001110 11110100000000000000000
40. 将以下IEEE浮点数转换为十进制数。
    a. 0 10000000 00000000000000000000000：2
    b. 1 10000011 0001000000000000000000：-17
    c. 0 11111111 00000000000000000000000：2¹²⁸
    d. 1 10000000 10010000000000000000000：$-\frac{25}{8}$
41. a. 32-bit IEEE浮点数能表示的最大数值是多少？2¹²⁹
    b. 32-bit IEEE浮点数能表示的最小数值是多少？-2^-149
42. 一个程序员编写了一个两数求和的程序。但是运行后发现，5和8相加的结果是字符“m”，请分析造成这种奇怪现象的可能原因。
    可能将5和8当作字符来相加，因为5和8对应的ASCII码分别为53和56，相加刚好是109对应的ASCII码中的字母m。
43. 将以下十六进制ASCII码改写为8-bit二进制ASCII码。
    a. x48656c6c6f21：Hello！
    b. x68454c4cf21：hELLO！
    c. x436f6d70757465727321：Computers！
    d. x4c432d32：LC-2
44. 如果要将数字3的二进制表示转传成字符“3”的ASCII码，请问如何操作？那么，数字4到字符“4”的转换呢？试问，是否任意数字都可以通过这种操作来转换？
    可以通过3+47转换成字符“3”，只支持数字0~9的转换
45. 将以下无符号数从二进制方式转换为十六进制方式。
    a. 1101 0001 1010 1111：xd1af
    b. 001 1111：x1f
    c. 1：x1
    d. 1110 1101 1011 0010：xedb2
46. 将以下十六进制数转换为二进制形式。
    a. x10：0001 0000
    b. x801：1000 0000 0001
    c. xF731：1111 0111 0011 0001
    d. x0F1E2D：0000 1111 0001 1110 0010 1110
    e. xBCAD：1011 1100 1010 1101
47. 将以下十六进制补码转换为十进制数。
    a. xF0：-16
    b. x7FF：2¹¹-1或2047
    c. x16：22
    d. x8000：-2¹⁵或-32768
48. 将以下十进制数转换为二进制补码及其十六进制表示。
    a. 256
    b. 111
    c. 123 456 789
    d. -44
49. 下面是十六进制表示的补码之间的运算。请问，能否不将它们展开为二进制方式，而直接计算各式的值，结果仍然采用十六进制表示。
    a. x025B + x26DE
    b. x7D96 + xF0A0
    c. xA397 + xA35D
    d. x7D96 + x7412
    e. 对c和d的计算结果有什么补充吗？
50. 下面是十六进制补码的逻辑运算。请问，能否不将它们展开为二进制方式，而直接计算各式的值，结果仍然采用十六进制表示。
    a. x5478 AND Xfdea（英文版是xFDEA）
    b. xABCD AND x1234
    c. NOT(NOT(xDEFA)) AND (NOT(xFFFF))
    d. x00FF XOR x325C
51. 试写出以下数值的十六进制形式。
    a. 25 675
    b. 675.625，IEEE 754浮点数标准形式
    c. ASCII字符串：Hello
52. 略。
53. 略。
54. 略。
55. 我们已学过二进制（base-2）和十六进制（base-16）的数字表示方法。如果是无符号base-4方式，我们称之为四进制（quad）。在四进制中，每个数字的表示可以是0、1、2或3。试问：
    a. 3位四进制数能表达的最大无符号数值是多少（请用十进制回答）？
    b. n位四进制数能表达的最大无符号数值是多少（提示：答案必须以n为参数）？
    c. 计算无符号四进制数023和221相加的结果。
    d. 求出十进制数42的四进制表示。
    e. 求出将四进制数123.3转换为二进制方式的表示。
    f. 将四进制数123.3转换为IEEE浮点数表示。
    g. 假设一个黑箱函数，该黑箱的输入是一个m位四进制数，输出是一位四进制数。试问，该黑箱函数有多少种可能的实现（提示：排列组合，对于任意一个特定输入，有4种可能输出）？
56. 试定义一种新的8-bit浮点数各式，符号位1-bit、指数字段4-bit（校正值为7，即bias=7）、尾数3-bit。试问，十六进制数xE5转换为该8-bit浮点数的结果是什么？最后数值（十进制）是多少？

参考：https://github.com/QSCTech/zju-icicles/blob/master/计算机系统概论/作业答案/ch02_complete.pdf