大数运算-加法（C/C++实现）

大数运算-加法

前言

• 在很多情况下，c/c++所提供的基本数据类型已经不能满足我们的需求了，所以我们需要一种方法来解决一些大数的运算，在小学进行加法运算的时候，无论数据是什么，有多少位，都通通采取列竖式的方法进行计算并得出结果，本文将使用数组模拟列竖式计算来解决大数的加法运算。
  

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问题分析

• 首先我们先给定一组数据，来辅助说明整个计算过程
  
  • a = 987654321
  • b = 56789
  • 计算 a + b 的结果
• 将两个数字的每一位分别存入两个数组:因为所给定的数据不是很大，这里就开辟长度为10的数组进行说明，a数组(a[])用来存储数字a的每一位，b数组(b[])用来存储数字b的每一位，c数组(c[])用来存储计算的结果（在程序中开辟一个新的数组，数组的每一位都是随机数，所以需要将数组初始化，把数组的每一位都赋值为0）。

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
a[]	9	8	7	6	5	4	3	2	1	0
b[]	5	6	7	8	9	0	0	0	0	0
c[]	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0

• 我们通过某种方式将其存入了数组中，从左往右观察上面这个表格，虽然我们想计算的是987654321 + 56789，但是存入数组中后我们发现，现在已经无法分辨 a 和 b 的值了。
  
  • a 的值变成了9876543210？
  • b 的值变成了5678900000？
• 我们可以记录下数字 a 最后一位所在数组的位置，数字 b 最后一位所在数组的位置，这样虽然不会出现上面的问题了，但是在实际的计算过程中会很繁琐，并伴随着各种问题。接下来，我们换一种思路来将数字存入数组（逆序存入），存入的结果如下表所示：

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
a[]	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
b[]	9	8	7	6	5	0	0	0	0	0
c[]	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0

• 此时我们从右往左看这个表：
  
  • a = 0987654321 = 987654321
  • b = 0000056789 = 56789
• 这样的结果才是我们所需要的，接下来我们继续来模仿列竖式的方法进行计算，c[n] = a[n] + b[n] + c[n], 如果结果大于等于10，我们就向前进一位。
  
  • c[0] = a[0] + b[0] + c[0] = 1 + 9 + 0 = 10,结果等于10， 向前进一位，进位之后c[1] = 1，c[0] = 0;
  • c[1] = a[1] + b[1] + c[1] = 2 + 8 + 1 = 11,结果大于10，向前进一位，进位之后c[2] = 1, c[1] = 1;
  • c[2] = a[2] + b[2] + c[2] = 3 + 7 + 1 = 11,结果大于10，向前进一位，进位之后c[3] = 1, c[2] = 1;
  • 重复这样的操作，直到数组的最后一个元素。
• 执行完上述操作后，表格变成如下所示：

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
a[]	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
b[]	9	8	7	6	5	0	0	0	0	0
c[]	0	1	1	1	1	7	7	8	9	0

• 现在我们从右向左观察数组c（c[]），每一位分别是0987711110，如果忽略前置0，结果就是98771110，这便是987654321 + 56789的结果。
• 以上就是大数加法的基本步骤了，实际上，我们并不需要数组 c 进行辅助运算，前文中使用原因只是为了方便说明，如果不利用c数组，那么初始的表将会变成如下样子：

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
a[]	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
b[]	9	8	7	6	5	0	0	0	0	0

• 只需要将数组a中的每一个元素加到数组b中，即b[n] = a[n] + b[n],再根据结果决定是否需要进位。
  
  • b[0] = a[0] + b[0] = 1 + 9 = 10，结果等于10，向前进一位，进位之后b[1] = 9, b[0] = 0;
  • b[1] = a[1] + b[1] = 2 + 9 = 11，结果大于10，向前进一位，进位之后b[2] = 8, b[1] = 1;
  • b[2] = a[2] + b[2] = 3 + 8 = 11，结果大于10，向前进一位，进位之后b[3] = 7, b[2] = 1;
  • 重复这样的操作，直到数组的最后一个元素。
• 执行完上述操作后，我们可以得到这样一个表：

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
a[]	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
b[]	0	1	1	1	1	7	7	8	9	0

• 结果同样是987711110

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  代码实现

  1. 首先是如何逆序将数据存入数组，我们可以在输入数据的时候将 a 和 b 分别存入两个字符串，然后获取字符串的长度，从字符串的最后一个元素开始依次添加到数组中，添加的时候只需要把字符减去字符0。

//这里str1是字符串,a是数组
//逆序存入str1中的元素到a数组
for(int i = strlen(str1) - 1, j = 0; i >= 0; i--)
        a[j++] = str1[i] - '0';
//这里str2是字符串,b是数组
//逆序存入str2中的元素到b数组
for(int i = strlen(str2) - 1, j = 0; i >= 0; i--)
        b[j++] = str2[i] - '0';
//执行完这两个循环之后就完成了逆序存入的操作

2.相加和进位：两个数组的每一位都分别相加，再通过相加的结果判断是否需要进位，maxn为数组的长度，但是这样的话，会有很多没用意义的计算，就比如上文中的例子，a[9] + b[9]就是没有意义的，后面会说到这个该如何优化。

    //这里的maxn是数组的长度
    for(int i = 0; i < maxn; i++)
    {
        b[i] += a[i];
        if(b[i] >= 10)
        {
            b[i + 1] += b[i] / 10;
            b[i] %= 10;
        }
    }

3.结果的输出：因为输出的时候需要从数组的最后一位向前输出，也就是说会有很多前置的零，上文中的例子，如果直接输出的话结果就是0987711110，但是我们并不需要前置0，所以在输出结果的时候应该过滤掉前置0，也就是说在输出的时候从第一个不为0的位置开始输出，实现这个的方式有很多，我是用以下的方式实现的输出：

    //这里的maxn同上
    int i;
    //注意：这个for循环有一个分号
    for(i = maxn - 1; i >= 0 && b[i] == 0; i--);
    if(i >= 0)
        for( ; i >= 0; i--)
            cout << b[i];
    else
        cout << 0;
    cout << endl;

下面是完整的代码：

#include
#include
#include
using namespace std;
const int maxn = 1000;
char str1[maxn], str2[maxn];
int  a[maxn], b[maxn];
void sum()
{
    //逆序存入
    for(int i = strlen(str1) - 1, j = 0; i >= 0; i--)
        a[j++] = str1[i] - '0';
    for(int i = strlen(str2) - 1, j = 0; i >= 0; i--)
        b[j++] = str2[i] - '0';
    //相加和进位
    for(int i = 0; i < maxn; i++)
    {
        b[i] += a[i];
        //进位操作
        if(b[i] >= 10)
        {
            b[i + 1] += b[i] / 10;
            b[i] %= 10;
        }
    }
    //输出结果
    int i;
    //过滤掉前置0
    for(i = maxn - 1; i >= 0 && b[i] == 0; i--);
    if(i >= 0)
        for( ; i >= 0; i--)
            cout << b[i];
    //如果保存结果的数组中全部为0，上面的操作会过滤掉所有的0，不会有输出，所以这里输出一个0
    else
        cout << 0;
    cout << endl;
}

int main()
{
    //清空数组和字符数组
    memset(a, 0, sizeof(a));
    memset(b, 0, sizeof(b));
    memset(str1, 0, sizeof(str1));
    memset(str2, 0, sizeof(str2));
    //输入
    cin >> str1 >> str2;
    //执行加法计算
    sum();
    system("pause");
    return 0;
}

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关于maxn

• maxn是在程序中定义的一个常量，但是在计算的过程中如果直接使用，会运行很多没有意义的计算过程，我们可以这样做一个优化，定义一个变量MAX，令MAX的值等于最长的字符串长度 + 1，即：
  
  • MAX = max(strlen(str1), strlen(str2)) + 1;
• 加1的原因：n位+n位的结果可能会是n+1位，举个例子来说，如果计算999+111，实际的结果应该是1110，如果不加1，那么输出的结果就是110。
• 用MAX替换sum（）函数中的一些边界值即可。