自然数e的理解

在电路设计计算中，有很多公式都有EXP(N)或者ln(N)的计算，而这些都和“e” 这个“自然数”有关系。

一直疑惑到底这个“e”为什么称为自然数 ，而且被冠以最美的数，最自然的数等等美誉。

假定有一种单细胞生物，它每过24小时分裂一次。那么很显然，这种生物的数量，每天都会翻一倍。今天

是1个，明天就是2个，后天就是4个。我们可以写出一个增长数量的公式：
　　growth=2^x
上式中的x就表示天数。这种生物在x天的总数，就是2的x次方。这个式子可以被改成下面这样：
　　growth=(1+100%)^x
其中，1表示原有数量，100%表示单位时间内的增长率。

我们继续假定：每过12个小时，也就是分裂进行到一半的时候，新产生的那半个细胞已经可以再次分裂了。
因此，一天24个小时可以分成两个阶段，每一个阶段都在前一个阶段的基础上增长50%。　

当这一天结束的时候，我们一共得到了2.25个细胞。其中，1个是原有的，1个是新生的，另外的0.25个是新生细胞分裂到一半的。
如果我们继续修改假设，这种细胞每过8小时就具备独立分裂的能力，也就是将1天分成3个阶段。　

那么，最后我们就可以得到大约2.37个细胞。

很自然地，如果我们进一步设想，这种分裂是连续不断进行的，新生细胞每分每秒都具备继续分裂的能力，那么一天最多可以得到多少个细胞呢？

当n趋向无限时，这个式子的极值等于2.718281828...。　

也就是式子：

因此，当增长率为100%保持不变时，我们在单位时间内最多只能得到2.71828个细胞。数学家把这个数就称为e，它的含义是单位时间内，持续的翻倍增长所能达到的极限值。

这个值是自然增长的极限，因此以e为底的对数，就叫做自然对数。

下面还有几个关于e的推导公式：

1.    

+1

；

2.     

 

+1