Min25筛小结

关于筛法，最近看到了很多，也尝试的学了一些。总的来说可以分为线性筛和亚线性筛。

所谓线性筛，就是可以在线性时间复杂度内求解的筛法。而亚线性筛则是时间复杂度更为优秀的筛法，通常时间复杂度可以达到小于线性时间，可以解决1e8~1e11范围内的问题。

关于亚线性筛，之前已经写过了杜教筛，但是个人感觉用到的地方确实不太多，而且比较难构造。而这次要讲的Min25筛则相对要求的条件更低，而且不需要构造新的数论函数。另外还有一种亚线性筛叫洲阁筛，与Min25筛类似。

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首先要弄清楚Min25筛具体用在什么地方，有什么使用条件。一般来说，它可以求大部分的积性函数的和，即形如：

                                                                       

要求的条件是要能够用多项式表示，而且要能够快速计算。

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Min25筛的大致思想，就是把这个结果分为两个部分（准确来说是三个部分），一个是i为质数的和，一个是i为合数的和，再加上i为1的函数值。那么，我们首先看如果求这个i为质数部分的和ans1。我们不妨设

                          

也即g(n,j)表示从1累加到n的F(i)，其中的i要满足要么i自己是质数，要么i的最小质因子大于第j个质数。这样，显然有ans1等于g(n,|P|)。那么我们考虑如何去计算这个g(n,j)。

我们发现，当时，最小质因子是的最小合数就是，而，所以此时有。

当时，我们考虑从g(n,j-1)转移到g(n,j)时少了什么东西，显然少了的就是最小质因子恰好是的和，所以要把这一部分给减去。还是考虑用g(x,y)来表示这一部分的结果，于是有：

                     

总的来说减去的部分本身也是两个部分，首先是要把这个最小质因子提出来，那么剩下的和就是，但是这个里面还是包含了那些最小质因子小于的部分，而我们要求的是最小质因子恰好是的和，所以还要减去最小质因子小于的部分，这就是。

这样一来g(n,j)总的递推公式就是：

       

对于这个递推公式， 显然等于 这个j的个数不会很多。而最多只有个取值，我们同样可以很快的求解。可以证明这里的复杂度不会很高。

然后这里递推的起点是g(n,0)，这个含义就是相当于把所有的数字当作质数，然后求 要注意这里的求和与我们要做的最终答案的区别。这里其实是相当于，因为我是把所有的数字当作了质数。更具体的说，作为积性函数，F(i)的表达式肯定是分段的，如果i是质数，那么会有一个通项公式，如果是合数，那么可以是各个质因子的乘积。这里把所有的数字当作质数就是把所用的数字去套i为质数时的通项公式再求和，这个求和一般都能手动化简为另一个通项公式作为递推的起点。

更加深入的理解这个过程，我们可以这样子理解。一开始，我是把所有的数字当作质数，然后后面j的循环，相当于一步步的从小到大把其他质数筛掉，和普通的埃氏筛类似，都是只需要筛到这个级别。

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现在我们已经处理完了i为质数时的和，那么现在考虑直接求总和，考虑质数的和直接用，1的值单独算，主要是合数部分。与之前类似，我们令：

                                 

S(n,j)表示从1累加到n的F(i)，同样的，i要么是质数，要么是质数，要么最小质因子大于j。与上面不同，我们这里要求的是倒过来的，最后需要的答案就是S(n,1)。类似的，我们可以得到下面的递推式：

关于这个前一部分，这个就是相应的质数部分的和，用所有质数的和，减去前j个质数。主要是后面这个合数部分。因为F(i)是积性函数，所以对于一个合数，我们可以把它的最小质因子包括其幂次的那一项提出来，提出来之后，剩下的部分就不包含这个最小质因子了，对应的和就是。然后这里e的范围是要求因为要保证，这样最小质因子大于第k个数字。但是，注意到，这样子可以筛出大部分合数，但是对于形如这种合数，我们并没有计算到，所以我们单独把这个加上。

还是一样，进行数论分块求和递推，就可以求出最后的S(n,1)。再把F(1)加上即可。

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总的来说就是这样，分成质数、合数和1三个部分来做，时间复杂度很玄学的，当然我也不知道怎么得出来的，反正用就是了。具体实现的话，一般首先是会把个区间给预处理出来，然后递推解决。在计算S(n,j)的时候就用上递归。代码的话，可以参见我的其他文章。