数学---扩展欧几里算法与二元一次方程的整数解

本系列文章内容大多采集罗老师著作：《算法竞赛入门到进阶》 清华大学出版社， 感谢罗老师的支持。
从问题出发：
给出整数a、b、n,问方程： ax+by=n 什么时候有整数解？
有解的充分必要条件是 gcd(a,b)可以整除n。简单解释如下：
令 a = gcd(a,b)a′、b= gcd(a,b)b′,有 ax+by=gcd(a,b)****(a′x+b′y)=n；**如果x、y、a′ 、b′都是整数，那么b必须是 gcd(a,b)的倍数才有整数解 **。
例如 4x + 6y = 8、2x + 3y = 4 有整数解，4x + 6y=7则没有整数解。
如果确定有解，一种解题方法是先找到一个解（x₁+y₁），那么通解公式如下：

x = x₁ + bt
y = y₁ - at， t 是任意整数

所以，问题转化为如何求(x₁，y₁)。利用扩展欧几里得算法可以求出这个特解。
1. 扩展欧几里得算法
当方程符合 ax + by = gcd(a,b)时，可以用扩展欧几里得算法求(x₁,y₁)。程序如下：

	void extend_gcd(int a, int b, int &x, int &y){//返回x，y，即一个特解(x₁,y₁)
		if(b==0){
			x=1, y=0;
			return ;
		}
		extend_gcd(b,a%b, x, y);
		int tmp = x;
		x = y;
		y = tmp - (a/b)*y

	}

有时候为了化简描述，在ax + by=gcd(a,b)两边除以 gcd(a,b),得到 cx + dy=1，其中 c=a/gcd(c,b), d=b/gcd(a,b)。很明显，c、d是互质的。cx + dy=1的通解如下：

 x = x₁ + dt；
 y = y₁ - ct，  t是任意整数

这里可以理解为二维坐标系中的直线上的点
2.求任意方程 ax + by =n 的一个整数解

用扩展欧几里得算法求解 ax + by = gcd(a，b)后，利用它进一步解任意方程 ax + by =n，得到一个整数解。其步骤如下：
（1）判断方程ax + by =n 是否有整数解，有解的条件是 gcd(a,b)可以整除n；
（2）用扩展欧几里得算法求 **ax + by =gcd(a,b)**的一个解（x₁，y₁）；
（3）在 **ax₁ +by₁ =gcd(a,b)**两边同时乘以 n/gcd(a,b),得：

ax₁n/gcd(a,b) + by₁n/gcd(a,b) =n

（4）对照 ax + by= n,得到它的一个解（x₁′，y₁′）是：

x₁′=x₁n/gcd(a,b)
y₁′=y₁n/gcd(a,b)

3.应用场合
扩展欧几里得算法是一个很有用的工具，在竞赛中应用到一下场合：
（1）求解不定方程；
（2）求解模的逆元；
（3）求解同余方程。
虽然可以通过 ax + by = gcd(a,b) 得到通解，但是通常题目要求求特解。