数论-线性同余方程的解法

一 拓展欧几里得方法

1. 标准方程

拓展欧几里得方法解决的标准问题是

$$ax+by=gcd(a,b)$$

由于有2个未知数，却只有1个方程，所以方程的解并不唯一。通过欧几里得算法，我们得到了该方程的一对特解$x_0$和 $y_0$ ,由齐次方程$ax+by=0$可以得齐次通解
$$\{\begin{array}{l}x=\frac{b}{gcd(a,b)}\\ \\ y=-\frac{a}{gcd(a,b)}\end{array}$$
由此我们可以得到原方程的通解
$$\{\begin{array}{l}x=x_0+t\frac{b}{gcd(a,b)}\\ \\ y=y_0-t\frac{a}{gcd(a,b)}\end{array},t\in N^{+}$$

2. 一般情况

当我们需要求一般情况
$$ax+by=c$$
可以在标准问题的基础上进行求解，显然仅当$gcd(a,b)|d$，即 $c\%gcd(a,b)=0$时，新方程才有整数解，新的特解为标准特解的$k=\frac{c}{gcd(a,b)}$倍，即
$$\{\begin{array}{l}{X}_0=k{x}_0\\ \\ Y_0=k{y}_0\end{array}$$

3. 欧几里得算法的代码模板（标准方程）

typedef long long LL;

void ex_gcd(LL a,LL b,LL & x,LL & y,LL & d)
{
    if(!b)  d=a,x=1,y=0;
    else
        ex_gcd(b,a%b,y,x,d),y-=x*(a/b);
}

LL gcd(LL a,LL b)
{
    return !b?a:gcd(b,a%b);
}

注：ex_gcd()产生的d就是gcd()，因为算法是完全一致的。

二 线性同余方程

1. 相关性质定理

定理1 :对于二元一次方程 $a\ast x+b\ast y=c$ ，其等价为 $a\ast x\equiv c(modb)$，该方程有整数解的充分条件是 $cmodgcd(a,b)=0$，若方程有整数解，则共有$gcd(a,b)$个解。

定理2：若 $x_0 $、$y_0 $ 为 $a\ast x+b\ast y=c$ 的一组解，则该方程的任一解可表示为：$\{\begin{array}{c}x=x_0+b\ast t/GCD(a,b)\\ y=y_0-a\ast t/GCD(a,b)\end{array},t\in Z$

定理3: 若$gcd(a,b)=d$，则方程 $ a*x \equiv c (mod :,b)$ 在 $[0,b/d-1]$ 上有唯一解。

2. 最小正整数解

通过定理2来拓展方程的解，来调整x的范围，将 $a\ast x_0+b\ast y_0=c$拓展为$a\ast (x_0+t\ast k)+b\ast (y_0-t\ast k)=c,k\in Z$，从而使得所得到的 x 尽可能的小，通过式子 $x=(xmodt+t)modt$ 来约束结果一定是一个正数借助定理3，我们可以取出最小正整数解$ans=(x\%r+r)\%r$,其中$r=\frac{b}{gcd(a,b)}$

3. 线性同余方程的解

方程
$$a\ast x\equiv b(modn)$$
等价于
$$ax+ny=b$$

有整数解条件
$$gcd(a,n)|b<==>b\%gcd(a,n)=0$$

整数解的数量为
$$gcd(a,n)$$

特解为
$$X_0=x_0\ast \frac{b}{gcd(a,n)},where{x}_{0}fitsa{x}_0+n{y}_0=gcd(a,n)$$
通解为

$$X=(X_0+k\frac{n}{gcd(a,n)})\%n,k\in Z^{+}$$

最小正整数解为

$$X_{min}=(X_0\%r+r)\%r,r=\frac{n}{gcd(a,n)}$$

4.代码模板$a\ast x\equiv b(modn)$

void RemainderEquation(int a,int b,int n)
{
    int X,Y,d,r;
    long long res;
    long long min_res;
    d=gcd(a,n);
    ex_gcd(a,n,X,Y);
    if(b%d == 0)
    {
        r=n/d;
        X = X * (b / d) % n;//特解
        for(int i = 0 ; i < d; i++)
        {
            res = (X + (i * r)) % n;//通解
            printf("%lld\n",res);             //输出所有解
        }
        min_res=(X%(n/d)+(n/d))%(n/d);    
        cout<<min_res<<endl;       //输出最小解
    }else
    {
        printf("No Sulutions!\n");
    }
}

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实用博客整理

• https://blog.csdn.net/u011815404/article/details/81302830 （主要）

• https://www.cnblogs.com/linyujun/p/5167916.html （次要）